第二讲复杂的计数问题(二)

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1、第二讲：复杂的计数问题（二）习题课1、图2-14（仔细观察,中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的，你知道哪一条绳子长吗?想办法比较出来）.S2-14解：分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.2、数一数，图3-1屮共有多少点？方法1：一层一层往下数，如图3・2,把所得数全部相加，得出结果。总数1+2+3+4+5+6+7+S+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=

2、55+45=100（利用已学过的知识计算）.方法2：从上往下，沿折线数，如图3-3,得出结果总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）思考：此题还有其他简单的解法，请小朋友们自己下去思考。（把点群整体旋转一个角度,得到一个正方形，然后再数）3、数一数，图3-5中有多少条线段？ABCDEF解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一尔纟戈収.屮a后、c共同端点的线段有：ABACADAEAF5条.以B点为共曲东端点的线段有：BCBDBEBF4条.以C点为共同左端点的线段有：CDCECF3条.以D点为共同左端点的线段有：DEDF

3、2条.以E点为共同左端点的线段有：EF1条.总数5+4+3+2+1=15条.（2）用图示法更为直观明了.见图3—6.4、数一数，图3-9中共有多少个锐角？目3T05+4+3+2+1=15条解：（1）我们知道，图中任意两条从0点发出的射线都组成一个锐角.所以，以0A边为公共边的锐角有：ZLAOB,ZAOC,ZAOD,ZAOE,ZAOF共5个。以0B边为公共边的锐角有：ZBOC,ZBOD,ZBOE,ZBOF共4个。以0C边为公共边的锐角有：ZCOD,ZCOE,ZCOF共3个.以0D边为公共边的锐角有：ZDOE,ZDOF共2个.以OE边为一边的锐角有：ZEOF只1个.

4、锐角总数5+4+3+2+1=15（个）。（2）用图示法更为直观明了：如图3-10所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15（个）。5、数一数，图3-20屮有多少个三角形?解：方法1：（1）三角形是由三条边构成的图形.以OA边为左公共边构成的三角形有：AOAB,AOAC,AOAD,AOAE,AOAF,AOAG,△OAH,共7个；以OB边为左公共边构成的三角形有：AOBC,AOBD,AOBE,AOBF,AOBG,AOBH,共6个；以OC边为左公共边构成的三角形有：AOCD,AOCE,AOCF,AOCG,AOCH,共5个；以OD边为左公共边构成的三角形有：AODE,A

5、ODF,AODG,AODH,共4个；以0E边为左公共边构成的三角形有：AOEF,以OF边为左公共边构成的三角形有：△OFG,以OG边和OH,GH两边构成的三角形仅有:则，三角形总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）・AOEG,AOEH,共3个;AOFH,共2个；AOGH1个；方法2：显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.课堂练习：1、图3-17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔?因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.仔细观察可知，图中大三角形ABC上

6、的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,另外述有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1,2,3,4,所以棋孔总数是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）x3=91+10x3=121（个）•••••••••■S3-172、数一数，图3-18中有多少条线段?按图3-22所示方法数（图中只画出了一部分）线段总数：7+6+5+4+3+2+1=28（条）•S3-18S3-22TE3-233、数一数，图3-19中有多少锐角？按图3-23的方法数：角的总数：7+6+5+4+3+2+

7、1=28（个）•4、数一数，图3-21屮有多少正方形?最小的正方形有25个，Ftl4个小正方形组成的正方形16个;rtl9个小正方形组成的正方形9个；rtl16个小正方形组成的正方形4个;由25个小正方形组成的正方形1个;正方形总数：25+16+9+4+1=55个.课堂小结：1、巩固计数法中的三种基本方法2、数线段和数锐角的方法类似，都是先从相邻的两个点或两根射线开始数起，以此类推，求出最终结果。这种方法也适合于数三角形和正方形，只是遇到后面两种情况时难度大一点。