四年级奥数第二讲_图形的计数问题含答案

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1、第二讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．二、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个

2、基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：　　4＋3＋2＋1＝10（个）　　解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。练一练：数一数右图中总共有多少个角？答案:总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）　　例（2）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3

3、条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：　　（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.　　②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：　　（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）　解：：①在△ABC中共有线段是：　　（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）　　②在△

4、ABC中共有三角形是：　　（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。练一练：共有多少个三角形？答案:18例（3）数一数图中长方形的个数分析：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.　　BC边上分成的线段有：3+2+1=6.解：共有长方形：　　（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）　答：共有长方形90个。练一练：数一数图中长方形的个数答案:90　　例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.　分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的

5、边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.　　①以一条基本线段为边的正方形个数共有：　　6×5=30（个）.　　②以二条基本线段为边的正方形个数共有：　　5×4=20（个）.　　③以三条基本线段为边的正方形个数共有：　　4×3=12（个）.　　④以四条基本线段为边的正方形个数共有：　　3×2=6（个）.　　⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：　　2×1=2（个）.解：正方形总数为：　　6×5+5×4+4×3+3×2+2×1　　=30+20+12+6+2=70（个）答：练一练：下图共有几个正方形?答案:10例（5）数一数图中三角形的

6、个数分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.　　Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：　　①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：　　W①上=1+2+3+4=10（个）.　　②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：　　W①下=1+2+3=6（个）.　　Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：　　①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：　　W②上=1+2+3=6（个）.　　②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.　　Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：　　①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：　　W③上

7、=1+2=3（个）.　　②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.　　Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：　　W④上=1（个）.解：所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.答：三角形的总数是个。练一练：数一数图中三角形的个数答案：24例（6）数一数图中一共有多少个三角形？分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：　　第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.　　第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG

8、、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.　　第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC