第八讲 几何中的计数问题(二)

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1、第八讲几何中的计数问题（二）　　我们在已经学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形，正方形及数综合图形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.　　一、数长方形　　例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？　　　　分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：　　4+3+2+1=10（个）.　　图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10

2、条.BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：　　（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.　　图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.　　解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.　　图（Ⅱ）中长方形个数为：　　（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.　　图（Ⅲ）中长方形个数

3、为：　　（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.　　小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：　　（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2如右图数一数图中长方形的个数.　　解：AB边上分成的线段有：　　5+4+3+2+1=15.　　BC边上分成的线段有：　　3+2+1

4、=6.　　所以共有长方形：　　（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.二、数正方形例3数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）　　分析图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：　　2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：　　1×1=1（个）.　　所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.　　图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；　　边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；　　边长为3个长度单位的正方形有1×1=

5、1（个）.　　所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）.　　图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有：　　4×4=16（个）；　　边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；　　边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；　　边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）；　　所以，正方形的总数为：　　1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）.　　图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有：　　5×5=25（个）；　　边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；　　边长为3个

6、长度单位的正方形有：3×3=9（个）；　　边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；　　边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.　　所有正方形个数为：　　1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.　　小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个

7、长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.例4如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.　　分析为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.　　①以一条基本线段为边的正方形个数共有：　　6×5=30（个）.　　②以二条基本线段为边的正方形个数共有：　　5×4=20（个）.　　③以三条基本线段为边的正方形个数共有：　　4×3=12（个）.　　④以

8、四条基本线段为边的正方形个数共有：　　3×2=6（个）.　　⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：　　2×1=2（个）.　　所以，正方形总数为：　　6×5+5×4+4×3+3×2+2×1　　=30+20+12+6+2=70（个）.　　小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1　　显然例4是结论的特殊情况.例5如下图，平面上有16个点，