第八讲几何中的计数问题(二)

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1、第八讲几何中的计数问题（二）我们在已经学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形，止方形及数综合图形來进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.一、数长方形例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？分析图（I）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数,即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.图（II）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一

2、个宽，就组成一个长方形，所以图（II）中共有长方形为：（4+3+2+1）X（2+1）=10X3=30（个）・图（III）中，依拯计算图（II）中t方形个数的方法：可得长方形个数为:（4+3+2+1）X（3+2+1）=60（个）・解：图（I）中长方形个数为4+3+2+1二10（个）・图（II）屮长方形个数为：（4+3+2+1）X（2+1）=10X3=30（个）・图（III）中t方形个数为：（4+3+2+1）X（3+2+1）=10X6=60（个）.小结：一般情况下，如果有类似图III的任一个长方形一边上有叶1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有niT个分点（不包括这条边上

3、的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（l+2+3+・・・+m）X（l+2+3+・・・+n）・例2如右图数一数图中长方形的个数.解：AB边上分成的线段有:5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1二6.所以共有长方形：（5+4+3+2+1）X（3+2+1）=15X6=90（个）.二.数正方形例3数一数下页齐个图中所有止方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）分析图I中，边长为1个长度单位的止方形有：2X2M（个），边长为2个长度单位的正方形有：1X1=1（个）.所以，正方形总数为1

4、X1+2X2二1+4二5（个）・图II中，边长为1个长度单位的正方形有3X3=9（个）；边长为2个长度单位的正方形有：2X2=4（个）；边长为3个长度单位的止方形有1Xl=l（个）.所以，正方形的总数为：1X1+2X2+3X3=14（个）・图III中，边长为1个长度单位的止方形有：4X4=16（个）；边长为2个长度单位的正方形有：3X3=9（个）；边长为3个长度单位的正方形有：2X2=4（个）；边长为4个长度单位的正方形有:1X1=1（个）；所以，正方形的总数为：1X1+2X2+3X3+4X4=30（个）.图IV中，边长为1个长度单位的正方形有：5X5=25（个）；边长为2个

5、长度单位的正方形有：4X4=16（个）；边长为3个长度单位的止方形有：3X3=9（个）；边长为4个长度单位的正方形有：2X2二4（个）；边长为5个长度单位的正方形有:1X1=1（个）.所有正方形个数为：1X1+2X2+3X3+4X4+5X5=55（个）・小结：一般地，如果类似图IV中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其屮边长为1个长度单位的正方形个数有：nXn=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）X（n-1）=（n-1）2（个）…;边长为（n-1）个长度单位的止方形个数有：2X2=22（个）,边长为n个长度单位的正方形个数有:1X1=1（个）•所以，

6、这个大正方形内所冇正方形总数为:12+22+32+・・・+n2（个）・例4如右图，数一数图屮有多少个正方形（其屮每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析为叙述方便，我们规定最小正方形的边氏为1个氏度单位，乂称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6X5=30（个）・②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5X4=20（个）・①以三条基本线段为边的正方形个数共有：4X3=12（个）・②以四条基本线段为边的正方形个数共有：3X2=6（个）・③以五条基木线段为边的止方形个数共有：2X1=2（个）・所以，止方形总数为：6X5+5X4+4X3+3X

7、2+2XI二30+20+12+6+2二70（个）・小结：一般情况厂若一长方形的长被分成ni等份，宽被分成n等份,（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n