培养学生数学思维的深刻性

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1、培养学生数学思维的深刻性　　中图分类号：G633.6文献标识码：C文章编号：1672-1578（2013)11-0101-01　　数学思维的深刻性是学生对实际事物中的数学关系进行抽象概括而获得数学问题，对具体数学材料，数学总是进行分析概括而得出数学模型，选择恰当的数学方法，用合适的数学计算出此模型的解或近似的解，以及对解的实践检验，对模型的修正等过程中，思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反映。数学思维的深刻性是思维品质的基础，是学生终身学习必备的素质。笔者在教学实践中十分重视它的培养，常用如下几种方法：　　1挖掘隐含，培养思维的

2、深刻性　　隐含条件是题目本身包包含却未明确给出的条件，如果看不出它，常给人条件不足，无处下手的困惑，教学时要引导学生注意从局部上分析问题的特征，从整体上分析问题的结构，进行联想类比，挖掘隐含条件，这对于培养学生的观察能力，提高综合分析能力，增强思维的深刻性都有积极作用。　　（1）若二次函数y=（a-1）x2-2x+1的图像与x轴有两个交　　点，求a的取值范围。　　分析：若此题不深刻思考，只考虑条件图像与x轴有两个交点，则得到a的错误取值范围是a<2，而事实上解此题时应引导学生深刻思考a-14≠0才是二次函数这一隐含条件才能得出的答案。

3、　　解：根据题意a-1≠0（-2）2-4（a-1）>0　　解之得a<2且a≠1　　2透视本质，培养思维的深刻性　　能否透过表面现象洞察数学对象的本质及联系，是思维深刻与否的主要表现。教学过程中，要注意启发学生，透彻理解概念，对数学问题的思考不能停留在表面，而在通过由表及里，由感性到现性的思考，抓住问题的本质和规律，深入细致地加以分析和解决。　　例2：已知x2+y2+2x-6y+10=0,求x,y　　分析：一个方程含有两个变量，一般情况下是不可求解的，而本题却要求X，Y的值。显然该方程能变为特殊形式的可解方程，即非负数实数的和为零，这样

4、能过现象看到了问题的本质，明确了变形方向。　　解：原方程化为?x+1?2+?y－3?2=0　　∴x+1=0y-3=0∴x=-1y=3　　3追根寻源，培养思维的深刻性　　善于集中思路，调动所有的信息朝探寻问题本源的目标深入发展，是思维深刻性的重要特征。　　例3：已知一抛物线与x轴两交点间的距离为2，且经过　　p?0，-16?，顶点在直线y=2上，求它的解析式。　　分析：如果此题按常规解法。设它的解析式为　　y=ax2+bx+c则根据题意得：　　■=2c=-16■=24　　从此解出a、b、c那么就显得解法繁琐。若抓住抛物线与x轴的两个交点

5、分居在对称轴两旁，而且到对称轴的距离相等这一关键，教学中教师抓住这一“根源”，即抛物线的对称性讲清讲透，学生不难得出如下巧妙解法：　　解：设所求的解释式为y=a（x－h）2+2　　∴

6、x2-x1

7、=2　　∴x1=h+1,x2=h-1是方程a(x-h)2+2=0的两根　　把其中一个代入上述方程得a（h+1－h）2+2=0，　　∴a=-2∴解析式为y=-2（x-h）2+2　　∵抛物线过点（0，-16）　　∴-16=-2（0-h）2+2∴h=±3　　∴解释式为y=－2(x±3)2+2　　4解法多变，培养思维的深刻性　　根据某一问题的多种解法

8、，将问题的某一方面侧重化，而展开式训练，这种训练能有效地突出解题思想方法，使学生掌握知识的同时，更牢固在掌握方法，进一步提高数学思维的深刻性。　　例4：过点p（1，2）作斜率是3的直线，求这条直线与椭圆4x2+y2=16的两交点到p的距离和。　　解法一设直线的倾斜角为θ，则tgθ=3，可求得:　　sinθ=■,　　cosθ=■则所求的直线参数方程为：　　x=1+■ty=-2+■t(t为参数)4　　代入椭圆化简得：■t2-■t-8=0　　设方程式两根为t1、t2，由伟达定理得：　　t1+t2=■,t1t2=-■　　其中t1、t2即为直线

9、与椭圆两交点p1、p2，到p的有向线段的数量。由t1t2<0知，两交点在点p的两侧。　　

10、p1p

11、+

12、p2p

13、=

14、t1

15、+

16、t2

17、=

18、t1-t2

19、=■=■　　解法二设直线参数方程为x=1+ty=-2+3t(t为参数)　　代入椭圆方程式得：　　13t2-4t-8=0则t1+t2=■,t1t2=-■　　令t=■从而t′=■t　　于是所求两交点到p的距离和：　　

20、p1p

21、+

22、p2p

23、=

24、t′1

25、+

26、t′2

27、=

28、t′1-t′2

29、=■

30、t1-t2

31、　　=■■=■　　培养学生思维深刻性和途径很多，无论在教师的新授知识中，还是学生在解题训练时，只要

32、有意识、有计划地加以训练，学生思维能力定会得到较大的提高。　　参考文献：　　[1]王鸿钧.数学方法引论[J].广西教育出版社，2001.　　[2]徐利冶.数学与思维[J].湖南教育出版社，1994.4