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《15-16版：§4-简单计数问题(创新设计)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§4简单计数问题［学习目标］1.进一步理解计数原理和排列、组合的概念2能够运用原理和公式解决简单的计数问题.戸预习导学/挑战自我，点点落实［预习导引］1.排列组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分步.2.解决受限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)正难则反，等价转化的策略；(3)相邻问题捆绑处理的策略；(4)不相邻问题插空处理的策略；(5)定序问题除法处理的策略；(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(7)平均分组问题，除法处
2、理的策略；(8)构造模型的策略.戸课堂讲义臺重点难点.个个击破要点一排列与组合的简单应用例1(1)5个相同的球，放入8个不同的盒子屮，每盒至多放1个球，共有多少种放法？(2)某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果.现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用•问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？解(1)白于球都相同，盒子不同，每盒至多放一个球，所以，只要选出5个不同的盒子，就可以解决问题.这是一个组合问题.因此，5个相同的球，放入8个不
3、同的盒子中，每盒至多放一个球，共有d=56种选法.(2)第一步：放入甲类物质，共有A；种方案.第二步：放入乙类物质，共有A?种方案.根据乘法原理，共有Al-A?=3X2X5X4X3=360种方案.因此，共要进行360次实验，才能得到所有的实验结果.规律方法(1)解简单的排列、组合应用题时，首先要判断它是排列还是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.跟踪演练1(1)5
4、个不同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有种放法.答案6720解析由于球与盒子均不同，每盒至多放一个球，所以这是一个排列问题.可直接从8个不同的盒子中取出5个盒子进行排列(即放球)，所以，共有Al=8X7X6X5X4=6720种放法.⑵从1,2,-1,-2,—3中任取不同的3个数作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,其中表示开口向上的抛物线的条数为.答案24解析・・・d>0,・•・抛物线的条数为C；A；=24.要点二有限制条件的排列、组合问题例2将5个不同的元素a,b,c,d,e排成一排.(1)6/,e必
5、须排在首位或末位，有多少种排法？(2)g,纟既不在首位也不在末位，有多少种排法？(3)。不排在首位，£不排在末位，有多少种排法？解(1)按首位是a还是£分类计数.第一类：a排在首位，那么幺必须排在末位，中间三位是把b,c,〃进行排列，一共有朋=3X2X1=6种排法.第二类：e排在首位，那么a必须排在末位，中间三位是把b,c,d进行排列，一共有农=3X2X1=6种排法.根据加法原理，a,£必须排在首位或末位，一共有6+6=12种排法.(2)按照先排首位和末位，再排中间三位分步计数.第一步：排出首位和末位.由于d,幺既不在首位也不在末
6、位，那么首位和末位是在方，c,〃中选岀两个进行排列，一共有A孑=3X2=6种排法.第二步：排出中间三位.由于在a,b,c,d,£5个元素中，已经有2个元素排在了首位和末位，因此，中间三位是把剩下的3个元素进行排列，一共有A^=3X2X1=6种排法.根据乘法原理，a,£既不在首位也不在末位，一共有6X6=36种排法.(3)按照a是否排在末位分类计数.第一类：a排在末位，此时e不排在末位，故一共有A?=4X3X2X1=24种排法.第二类：Q不排在末位，此时可按照先排Q,再排£,最后排b,c,d分步计数：第一步：a排在中间，有尼种排法.
7、第二步：0排在除末位及。所占位置外的其余位置，有Al=3种排法.第三步：b,c,d排在其余位置，有Ai=3X2Xl=6种排法.根据乘法原理，第二类有3X3X6=54种排法.最后，根据加法原理，d不排在首位，《不排在末位，一共有24+54=78种排法.规律方法排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合.对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列.对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净.跟踪演练2现安排甲、乙、丙、丁、戊5
8、名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A.152B.126C.90D.54答案B解析按从事司
