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《15-16版：§2-微积分基本定理(创新设计)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§2微积分基本定理［学习目标］1.直观了解并掌握微积分基木定理的含义2会利用微积分基木定理求函数的定积分.戸预习导学丄挑战自我，点点落实［知识链接］1.导数与定积分有怎样的联系？答导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算.2.在下面图(1)、图(2)、图(3)屮的三个图形阴彫部分的面积分别怎样表示？答根据定积分与曲边梯形的面积的关系知:图⑴中S=£/(x)dx,图(2)中S=-图(3)中S=［预习导引］1.函数的原
2、函数如杲连续函数/(X)是函数F(x)的导函数，即F通常称迪是/任)的一个原函数.如果连续函数/(X)是函数F(x)的导函数，即j{x)=F'2.微积分基本定理⑴，则有Jbf(xMx=F(b)—F(a).定理屮的式子称为微积分基本定理(牛顿一莱布尼茨公式).戸课堂讲义丄愛点难点，个个击破要点一求简单函数的定积分例1计算下列定积分：(1)r23dx；(2)仁(2x+3)dx；(3)(3(徐―%2)此丿1丿0丿・1解(1)因为(3兀)‘=3,所以f3dx=(3x)=3X2—3X1=3.(2)因为(,+3
3、x)‘=2x+3,规律方法(1)用微积分基本定理求定积分的步骤:①求/(X)的一个原函数F(x);②计算F(b)-F(a)・(2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F(x)是/(X)的原函数，则F(x)+C(C为常数)也是./(x)的原函数.随着常数C的变化，/(x)有无穷多个原函数，这是因为F⑴=/(x),贝q[F(x)+C]'=F(x)=./(x)的缘故.因为£/(x)dx=[F(x)+C],=[F(a)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a)=F(x)a1所以利用.心)的原函数计
4、算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C了.跟踪演练1求下列定积分:¥+1;⑵V(ex-lnx)/=eY-p/.f@_+)dx=(eA—Inx)=(e2-ln2)-(e-0)=e2_e-In2.要点二求较复杂函数的定积分例2求下列定积分:(1)72cos2尹y；丿0⑶r(2*+±)此解(1)丁*(1—&)=&—x,221又丁(―X2——x2)'=y[x—x.(2)V2cos2z=1+cosx,(x+sinx)‘32=l+cos兀,=号+1.•••原式=7(l+cosx)dx=(x+
5、sinx)丿0.•.（（2*+±）dr=（為+2&）L=（為+2甫）-（爲+2）器+2.规律方法求较复杂函数的定积分的方法：（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幕函数、正弦（余弦）函数、指数、对数函数与常数的和与差.（2）确定积分区间，分清积分下限与积分上限.跟踪演练2计算下列定积分：⑶解⑴因为[杰一计=(X-1)5,所以J2(x-l)5dr=
6、(X-1)6=
7、x(2-1)6-
8、
9、x(1-1)6=
10、.・3=smxcosx,所以；(siirxcosx)dr=(—sinx)丿o=
11、sin4^-
12、sin40=^.⑶令加=詁yy=£_士,x取F(x)=lnx—ln(x+l)=ln肓「，则F'(心-计？所以j詁计=£(〉计T)&1X24=In牙+]
13、=ln3-要点三定积分的简单应用例3己知f(a)=—o'x)6x,求/⑷的最大值.解•.•@0-异今=2ax2—a2xf21°即.@)=罗一尹=如-彳）2+磊22当a=^时，/（a）有最大值规律方法定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系，
14、可以通过定积分构造新的函数,4f[x)dx=—2f求°、o进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用.跟踪演练3已知.心）=亦+加+如工0）,且貳一1）=2,.广（0）=0,b、c的值.解由/(—1)=2,得a—b+c=2.①又/'(x)=2ax+b,:・f(0)=b=0,而r1/(x)dx=r(ax2+hx+c)(k=丿0丿0ax^>+}jbx'+cx=*a+如+c•9.^a+^b+c=—2,由①②③式得q=6,b=0,c=—4.要点四求分段函数的定积分例4计算下
15、列定积分:(1)若金)=(xWO)COSX—1(x>0)2/（X）山;丿T⑵J3
16、x2-4
17、cLv.解⑴dx=fx2dv+-I2(cosx—l)dx,0又•・・=x2,(sinx~x)r=cosx—10+(sinx—x)-i7171=(0+劲+(sin申-另-(sin0—0)4_7C3_2-⑵4
18、=x2—44—x2(x$2或xW—2),(-2
