§6.3微积分学基本定理

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1、§6.3微积分学基本定理由§6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过求积分和的极限来得到定积分的值,却非常困难;下面寻求一种计算定积分的非常简便的新方法——牛顿莱布尼兹(Netwon-Laibniz)公式计算法.一.积分上限函数设ƒ(x)在[a,b]上连续,区间[a,x]上方的曲边梯形的面积为ƒ(x)在区间[a,x]上的定积分1为了区别积分变量与积分上限,特将积分变量记为t,这是一个关于积分上限x的函数,并记为Φ(x),即注1定理5若ƒ(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上可导,且证设x、x+∆x∈[a,b],则有∆Φ(x)=Φ(x+∆x)–Φ(x)由积分中值定理得∆Φ

2、(x)=ƒ(ξ)∆x(ξ在x与x+∆x之间),当∆x→0时,必有ξ→x,从而2而注2对于变上限的复合函数有以下两个推论推论1若ƒ(x)在[a,b]上连续,(x)在[a,b]上可导,则(被积函数代积分上限且积分上限对x求导)3推论2若ƒ(x)在[a,b]上连续,例7计算下列各题证在[a,b]上可导,则45例8设(t)是正值连续函数,曲线在[–a,a]上是上凹的.x∈[–a,a](a>0).证曲线y=ƒ(x)在[–a,a]上是上凹的.6定理6(原函数存在定理)注3由定理5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数.若ƒ(x)在[a,b]上连续,则的一个原函数.是ƒ(x)在[a,b]上

3、注4此定理既肯定连续函数的原函数的存在性,又揭示了定积分与原函数的关系,下面利用此定理来推导通过原函数来计算定积分的公式.7二.牛顿—莱布尼兹公式定理7(微积分学基本定理)若ƒ(x)在[a,b]上连续,而F(x)是ƒ(x)在[a,b]上的一个原函数,则C=Φ(a)–F(a)=–F(a),证因F(x)与均为ƒ(x)的原函数,所以有于是Φ(x)=F(x)–F(a)令x=b,则上式有Φ(b)=F(b)–F(a),故Φ(x)=F(x)+C8注5上式就是牛顿—莱布尼兹公式.由牛顿—莱布尼兹公式知:要求ƒ(x)在[a,b]上的定积分只须先求出ƒ(x)在[a,b]上的一个原函数F(x),再计算

4、F(x)在[a,b]上的改变量F(b)–F(a)即可.注6牛顿—莱布尼兹公式当然也可它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方法,而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系.这样记.9例9计算下列定积分此定积分的被积函数含参数t并带绝对值.而t的取值又无限制,它既可在[0,3]之内,也可在[0,3]之外,故应分以下三种情况讨论:1011此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分.当∣x–2∣=0时,得x=2.因此时的区间[a,b]位置没定,故它可能在被积函数的零点的两侧,也可能在零点之间,亦可能包含零点.1213例10设解令两边从0到1积分,得则求ƒ(x).14