微积分学基本定理定积分计算(续

《微积分学基本定理定积分计算(续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§5微积分学基本定理定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。教学方法：讲练结合。本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一变限积分与原函数的存在性设在上可积，根据定积分的性质4，对任何，在上也可积.于是，由（1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分：.（2）与统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量写成，以免与积分上、下限的相混淆.变限积分所定义的函数有着重要的性质．由于因此下面只讨论变上限积分的情形

2、．定理9．9若在上可积，则由(1)式所定义的函数在上连续．证对上任一确定的点，只要，按定义式(1)有因在上有界，可设．于是，当时有当时则有．由此得到即证得在点连续．由的任意性，在上处处连续．口定理9．10(原函数存在定理)若在上连续，则由(1)式所定义的函数在上处处可导，且（3）证对上任一确定的，当且时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有第九章第五节第7页由于在点连续，故有由在上的任意性，证得是在上的一个原函数．口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了的一个原函数．正因为定理

3、9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当为连续函数时，它的任一原函数必满足若在此式中令，得到，从而有再令,有这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9．11(积分第二中值定理)设函数在上可积.(ⅰ)若函数在上减,且,则存在,使(ⅱ)若函数在上增,且,则存在,使推论设函数在上可积,若函数为单调函数,则存在,使积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二换元积分法与分部积分法定理9．12(定积分换元积分法)若函数在上连续，在上连续可微，且满足，第九章第五节第7页则有定积分换元公式：（9）证由于(9)式两边

4、的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设是在上的一个原函数，由复合函数微分法可见是的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注如果在定理9．12的条件中只假定为可积函数，但还要求是单调的，那么（9）式仍然成

5、立.（本节习题第14题）例计算解令，当由变到时，由0增到1，故取应用公式(9)，并注意到在第一象限中，则有例2计算解逆向使用公式(9)，令当由变到时，由1减到0，则有第九章第五节第7页例3计算解令，当从变到时，从0增到1.于是由公式（9）及得到对最末第二个定积分作变换，有它与上面第三个定积分相消．故得事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等

6、题．定理9.13(定积分分部积分法)若为上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：（10）证因为是在上的一个原函数，所以有+.移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)允许写成（）第九章第五节第7页例4计算解例5计算和解当时，用分部积分求得移项整理后得到递推公式：由于重复应用递推式(11)便得令，可得因而这两个定积分是等值的．由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式：事实上，由把(12)代人，得到第九章第五节第7页由此又得因为所以而故得（即式）.三泰勒公式的积分型余项若在上、有阶连续导函数，则有这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应

7、用公式导出泰勒公式的积分型余项.设函数在点的某邻域内有阶连续导函数．令，，，（或）．利用(14)式得，其中即为泰勒公式的阶余项．由此求得，这就是泰勒公式的积分型余项．由于连续，在上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将式写作第九章第五节第7页，其中．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项．如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得，.由于因此又可进一步把改写为（16）特别当时，又有（17）公式（16）、（17）称为泰勒公式的柯西型余项.各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用.作业:2,3,4(1),(