微积分学基本定理(I)

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1、一．微积分学基本定理Newton和leibniz独立创立微积分之前，已有积分和微分的概念，它们起源不同，出现的时间有先后，解决的问题也不同，但Newton和leibniz几乎同时发现了它们的联系——微积分学基本定理，从而创立了Calculus，这是里程碑式的成果。第5节微积分学基本定理类似地可有“变下限积分”称为“变上限积分”。1．变上限积分，随着在中的变动，也在变动。且对于是唯一的，因此可定义在上的一个新的函数，记为：2．微积分学基本定理，表的增量，表的增量积分中值定理因在和之间，时，微积分学基本定理Th.4.1设在上连续可导

2、，且e.g.1求e.g.2求Remark类似地，思考：？3．原函数及其性质、不定积分（1）原函数的概念称满足的函数为的一个原函数e.g.是的一个原函数是的一个原函数是的一个原函数（2）原函数的基本性质即的任意两个原函数之间只相差一个常数。（i）若是的一个原函数,也是的原函数（ii）若和都是的原函数的所有原函数的集合称为的不定积分，记为。即记成，，（3）不定积分（indefiniteintegral）只要知道的一个原函数，就可由它表示出的所有原函数，即不定积分。(4)基本积分公式设是的一个原函数令再令也是一个原函数4．定积分的计算

3、——Newton-leibniz公式这即著名的微积分学基本公式，也称牛--莱公式，它揭示微分与积分之间的关系，表示只要求出的一个原函数，即可求得定积分的数值。e.g.3计算它给出了定积分的一种计算方法，而不必通过复杂的极限运算。★e.g.4计算问：能不能用此方法，为什么？e.g.5计算正弦曲线在上与轴所围成的平面图形面积。e.g.6计算Remark定积分的计算取决于能否较容易地求得被积函数的原函数，这涉及到积分法，我们这里不打算多讲，可参看有关参考书。5．微分运算与积分运算的互逆性质由不定积分概念和微积分基本定理可知，有互逆运算

4、：oror二．变限积分的极限——无穷积分若对有定义可考虑时的极限若称极限值为函数在无穷区间上的无穷积分(infiniteintegral)。记为,i.e.类似地可定义计算无穷积分：（i）（ii）e.g.7Remark当在上的积分和在上积分均存在时，称在上积分存在，记为e.g.概率积分三．定积分的应用、微元法1．几何应用——平面图形的面积在区间上选取一个具代表性的“区间微元”，对应的面积微元为，i.e.平面图形由围成，求该平面图形的面积。可以证明与窄曲边形的实际面积“近似”相等（即相差一个高阶无穷小量）。计算抛物线与围成的面积。e

5、.g.8所求面积Remark上述这种用一个微元来代替精确量的计算法称为微元法。它体现了“以直代曲”，“以不变代变”的思想，是微积分中一个很重要的思想。2．旋转体体积平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转一周所成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。e.g.9考虑双曲线在内部分。让其绕x轴旋转，则旋转后得一曲面，求此曲面与所围体积。Sol.考虑上任一点处，取一小微元表面积为此薄片相应的体积微元和表面积微元分别为体积为若连续地向右移，使，则旋转曲面称为Gabriel喇叭。其体积为表面积为表明Gabriel喇叭具有有限的体积，而有无穷

6、的表面积。这是与“直观”不同。3．在经济学中的应用我们已知，在经济学中，常用导数表示一些边际经济量。例如边际成本，边际收益，边际利润等。反过来，如果已知边际量，要求总量，则可采用积分求解。e.g.10某商品的需求量为价格的函数，该商品的最大需求量为1000，已知边际需求为，求需求量与价格的函数关系。Sol.e.g.11Sol.作业1.P43.11(2)(3)(5)(6)2.P43.12(1)(3)(4)(5)(6)3.(补充)设生产某产品的固定成本为20元，生产件产品的边际成本为（元/件），试求总成本函数。