微积分学基本定理

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1、§5微积分学基本定理定积分的计算（续）教学目的：掌握微积分学基本定理．教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．(1)基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法．(2)较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．教学建议：　(1)微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．(2)积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容．教学程序：一变限积分与原函数

2、的存在性设在上可积，则对，在上也可积，于是，由，定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似地，可定义变下限的定积分：，和统称为变限积分.说明：由于，因此，只要讨论变上限积分即可.定理9-9若在上可积，则在上连续.证明：利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得.定理9-10（原函数存在定理）若函数在上连续，则在上处处可导，且，.证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得.说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了的一个原函数.因此，该定理也称之为微积分学基本定理.且得用它可以给

3、出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明.积分第二中值定理Abel变换，，，令，，，则，它实际上是分部积分公式给定分割：令，，之后的一种离散化形式.定理9.11（积分第二中值定理）设.（1）在单调下降，，，则,使得.（2）在单调上升，，，则，使得.（3）在单调，则，使得.证（1）令，记，，给一个分割，记，，在单调下降，所以可积，因而当时..若，则，可取任意值.若，，，，使得，即.（2）类似可证.（3）不妨设单调上升，令，单调上升，，由（2），使得..例1在单调下降，求证，.证二定积分的换元积分法和分部积分法定理9-12（定积分的换元积分法）若函数在上连续，在上

4、连续可微，且满足，，，，则有定积分的换元积分公式：.【证】　由假设，必有原函数，不妨设的一个原函数，即.根据牛顿－莱布尼兹公式，有　　另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有由以上两式知注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处.例2计算.【解题要领】令或即可.例3计算.【解题要领】令，逆向应用换元积分公式即可.例4计算.【解题要领】先令，再令即可.定理9-13（定积分的分部积分法）若、为上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式：，或.【证】由于及牛顿-莱布尼兹公式，有从而，根据定积分的线性性质，有例5.从这个例子

5、，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别：1）不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时前者行不通而后者却可以进行；2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了.例61.偶函数，则.2.，奇函数，则.例7解，，..例8解，，.所以，.例9(J.Wallis公式)证时，有，采用例4中的记号我们可得，，所以三泰勒公式的积分型余项设函数在点的某邻域内有阶连续导数，令，则.其中即为的泰勒公式的阶余项.由此可得，即为泰勒公式的积分型余项.由于连续，在（或）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值

6、定理于积分型余项，可知，，，使得.即为拉格朗日型余项.若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得，其中，.而，故，，称为泰勒公式的柯西型余项.特别地，当时，柯西型余项变为：，.积分余项的Taylor公式引理，，有，证.定理设，则，其中，.证时，.设时成立，即..推论：Lagrange余项，介于，之间.作业:P2291-7（2）定积分的计算利用牛顿－莱布尼兹计算定积分的关键是求被积函数的不定积分，而换元积分法和分部积分分法是求不定积分的基本方法，下面我们把这两种方法进一步推广到定积分上去.一定积分的换元积分法应用换元积分法计算定积分时，变换过程和求不

7、定积分的换元积分法是一样的　.在不定积分时，积分后要换回原来的积分变量.但在定积分利用换元积分法时，相应的改变积分的上、下限.不必再换回到原来的积分变量，可以简化定积分的计算.【例9.5.1】计算【解】　作变量代换.当x从4连续增加到9，从2连续增加到3，即当.因此.一般定积分的换元积分法叙述如下：【定理5.1】设函数，若函数在区间连续可微，且当时，则　　　　　　(9.5.1)【证】　由假设，必有原函数，不妨设的一个原函数，即.根据牛顿－莱布尼兹公式，有　　　　　　　　　　　　　（9.5.2）另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有　　　　

8、　　　（9.5.3）由式（9.5.2）和式（9.5.3）知【例9.5.2】计算.【解】令，于是   【例9.