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1、§4.解析函数与调和函数一、教学目标或要求：掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算二、教学内容(包括基本内容、重点、难点)：基本内容：解析函数与调和函数的关系例题重点：解析函数与调和函数的关系难点：例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：16、17、18§4.解析函数与调和函数在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此,在区域D内它的实部与虚部都冇二阶连续偏导数。现在我们來研究应该如何选择才能使函数/⑵九+小在区域D内解析。设/(z)二比+“在区域d上解析，则C—R条件成立du_dvdxdydxdy下一
2、章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数d2u__d2v沪_丽’3y2两式相加可得d2ud2un—+r=0舐2dy2同理可得a2va2v定义3.5若二元实函数在区域二内冇二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方则称Hg为区域二内的调和函数。记则丄为运算符号，称为拉普拉斯算了。定义3.6在区域D内满足C.—R.条件du_dvdu_dvdxdydydx的两个调和函数中/心，y),v(x,y)中,v(x,y)称为比(兀,y)的轨调和函数.共轨调和函数的几何意义设/(?)二班兀刃+IV(X?7)是区域d上的解析函数，则duScdyd
3、udx3dxdydu3弧S—•—+—•—=0dxdxdydy两式相乘得即所以w-（更7+更7）•（空7+空7）dx另dx0=—-—+—・—=dxdxdydy就是说，梯度dxdy正交.我们知道，也和E分别是曲线族“心刃=常数”和"(2)=常数”的法向矢量,因而上式表示5(XJ)=常数”与“吩丁)=常数”两族曲线相互正交.这就解析函数实部《(兀，y)与虚部uO,y)的几何意义。定理3.18若f(z)=u(x,y)4-iv(x,y)在区域D内解析，则在区域D内v(x,y)必为讥兀，刃的辘调和函数.证由/何在三内解析知，％・勺，吟,从而。又解析函数具有的无穷可
4、微性保证吟，卞在二内均连续，故必相等，于是在二内+Vo同理牛％即二，、匚满足拉普拉斯方程。定理3.19设若讥兀，刃是在单连通区域D内的调和函数，则存在由(3.22)式所确定的函数v(x,y),使/(z)=w(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析.解析函数的又一等价定理f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析当且仅当在区域D内v(x,y)是u(x,y)的共饥调和函数。函数于(z)在区域D内为解析函数的充分必要条件是Tm[/(z)]为Re[.f(z)]的共辘调和函数。从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。1•线积方法定理3.19设
5、召刃是在单连通区域二内的调和函数，则存在咻刃T；；严严叫妙址使是二内的解析函数。(其中(辛6＞是二内定点，⑴刃是二内动点，芒为任意常数，积分与路径无关)证要使世4■加成为解析函数，则必须满足条件%■叫吟・F(CJ?条件)，又故亦又％”在单连通区域二可微，故积分与路径无关，从而々J)■丄二(3血“严22.CR条件由弓■叫，两边对匸求积分=>■軌3”冷）,两边同时求兰的偏导=>片■期耐力4卩1W,曲CLR条件牛h幻■"（（磊（丄刃"®］两边对工求积分求得go的表达式，从Ifu=>吒2）■掙a』”•<©3.观察法例验证叫"）■H-3pa是匚平面上的调和函数，
6、并求出以吩>刃为实部的解析函数弘），使/®解⑴叫・31环宀亠(2)方法一・篇E严WC-^6jpA+(3?-3A*r*(7■『皿叮"-矽1SC-3?jr-/+C故/(z)-tt+iv■d_3亍~^^C)~(x+iyf^ic~^+ic又/TO-i故;=1,从而/»-^+io方法二由于"■咎■3』-^故v-3^jr-y+ff(x)于是”6W1«・®・6p,从而材e・Q,于是貳0・鑑，即故/倒・*加・兰也，以下同方法一（略）。方法三由于故心力■对余下（略）。咻0■cvcft—（X>0）例验证實在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数*）。解（1）2卩故
7、h分即丁在右半平面内是调和函数。it■——――—★~v■———又72F2M八尸，故bS・o,于是vox,故从而fr>Q)/(x)■丄HaKtg—2jc■ln
8、N
9、*iag富亠/・hi富在右半平面单值解析。例设i心，y)=P_2兀y-)“，试求以讥心刃为实部的解析函数/(z)=w(x,y)+iv(x,y),使得/(0)=i・解依C・一R・条件有vv=ux=2x-2y于是v=J(2x-2y)dy-2xy-y2+(p{x)由此得vx=2y+(px)=-uv=2x+2y从而有(p{x)=x2+c因此v(x,y)=2xy-y2+x2+c(c为任意常数)故得f(
10、z)=x2-2xy-y2+i(2xy-y2+x2+c)=(l+i)z2+ic将/(0)=i代入
