2-2调和函数与解析函数

《2-2调和函数与解析函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2解析函数与调和函数的关系2.2.1调和函数的定义2.2.2解析函数与调和函数的关系2.2.3由调和函数构造解析函数2.2.4小结与思考12.2.1调和函数的概念定义2.3如果二元实函数H(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程，即：则称H(x,y)为区域D内的调和函数。注：称为Laplace算子例如：f(x,y)=x2-2xy2不是一个调和函数调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.2设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件得同例,在D内有即u及v都是D内的调和函数2.2.2解析函数与调和函

2、数的关系3v称为u在区域D内的共轭调和函数.定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数例如:设f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析原因:u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件定义2.4u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足C.-R.条件：4定理2.4若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是：在区域D内f(z)的虚部v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数.根据

3、这个定理，便可利用一个调合函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数。由于共轭调和函数的这种关系,如果知道其中的一个,则可根据C-R条件求出另一个来。5例2.6验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使合f(0)=i.解：要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)67例2.7解89利用曲线积分求共轭调和函数的方法.10解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。112.2.4小结与思考本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以

4、及共轭调和函数的概念.应注意的是:1.任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.2.满足柯西—黎曼方程ux=vy,vx=–uy,的v称为u的共轭调和函数,u与v注意的是地位不能颠倒.放映结束，按Esc退出.12