调和函数与解析函数.ppt

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1、1§7解析函数与调和函数的关系问题1，解析函数的性质非常好，什么样的函数能构成解析函数的实部和虚部问题2.解析函数的实部和虚部的二阶导数是什么关系问题3.如何根据实部（虚部）求其满足的解析函数2调和函数若二元实函数H(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导，且满足Laplace方程则称H(x,y)为D内的调和函数.区域D上解析函数的实部与虚部是调和函数。反之，若D是单连通的，则D上的每个调和函数都是某个解析函数的实部或虚部.解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。u,v是实值函数，若u+iv解析，则v是

2、u的共轭调和.注：若v是u的共轭调和，则除非u，v都是常数，u不是v的共轭调和.定理任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数.证：设D内的解析函数则两等式分别关于x,y求偏导由解析函数高阶导数定理知，u和v具有任意阶连续偏导，故从而同理因此u和v调和.5共轭调和函数区域D内满足C.-R.方程的两个实值函数u,v中，v称为u在区域D内的共轭调和函数.注区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.u+iv=f(z)调和解析为u的共轭调和函数6例1验证u(x,y)=y3-3x2y是

3、调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z).例2已知一调和函数求一解析函数f(z)=使f(0)=1.例3已知一调和函数求一解析函数f(z)=使f(0)=0.u(x,y)=y3-3x2y利用C.-R.方程利用C.-R.方程的另一等式(偏积分法)8————不定积分法9u(x,y)=y3-3x2y10例2已知一调和函数求一解析函数f(z)=使f(0)=1.11例3已知一调和函数求一解析函数f(z)=使f(0)=0.柯西积分公式高阶导数公式柯西基本定理求型积分的步骤：14调和函数若二元实函数H

4、(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导，且满足Laplace方程则称H(x,y)为D内的调和函数.共轭调和函数区域D内满足C.-R.方程的两个调和函数u,v中，v称为u在区域D内的共轭调和函数.15例验证u(x,y)=y3-3x2y是调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z).例已知一调和函数求一解析函数f(z)=使f(0)=0.16————不定积分法17u(x,y)=y3-3x2y