§3.7—解析函数与调和函数的关系.ppt

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1、§3.7解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、典型例题四、小结与思考1Pierre-SimonLaplaceBorn:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,FranceDied:5March1827inParis,France2一、调和函数的定义定义调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.拉普拉斯§3.7解析函数与调和函数的关系3二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系定理任何在区域D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数

2、.证明：根据解析函数高阶导数定理,§3.7解析函数与调和函数的关系42.共轭调和函数的定义区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.柯西-黎曼方程§3.7解析函数与调和函数的关系5已知调和函数u,利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi,这种方法称为偏积分法.例1证明为调和函数,并求其共轭调和函数和由它们构成的解析函数.解3.求解析函数方法—偏积分法§3.7解析函数与调和函数的关系6得一个解析函数这个函数可以化为此例说明，由解析函数的实部可以确定其虚部(至多相差一个常数C),类似地，可以由解

3、析函数的虚部确定其实部.§3.7解析函数与调和函数的关系7例2证明为调和函数，并求其共轭调和函数.例3解：§3.7解析函数与调和函数的关系8所求解析函数为§3.7解析函数与调和函数的关系9已知调和函数u(x,y),v(x,y),用不定积分求解析函数f(z)=u+vi的方法称为不定积分法.4.求解析函数方法—不定积分法由于得将上两式积分,得适用于已知实部u求f(z)适用于已知虚部v求f(z)§3.7解析函数与调和函数的关系10用不定积分法求解例1中的解析函数例4解:§3.7解析函数与调和函数的关系11例5用不定积分法求解例3中

4、的解析函数解:§3.7解析函数与调和函数的关系12三、小结与思考本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是:任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.2.满足柯西—黎曼方程ux=vy,vx=–uy,的v称为u的共轭调和函数,u与v注意的是地位不能颠倒.§3.7解析函数与调和函数的关系ClassisOver,YouareDismiss13