复变函数与积分变换 解析函数与调和函数的关系 .ppt

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1、§2.2解析函数与调和函数的关系一、调和函数二、共轭调和函数三、构造解析函数一、调和函数考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。引例沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。又称为保守场或者梯度场或者有势场。存在势函数使得即(1)无旋场设该力场为考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。一、调和函数引例设该力场为(1)无旋场(2)无源场散度为零，无旋无源力场的势函数满足特别地，对于平面力场即一、调和函数则称为区域D内的调和函数。若二元实函数在区域D内有连续二阶偏导数，定义且满足拉普拉斯(L

2、aplace)方程：注泊松(Poission)方程P36定义2.3(算子与算子)同理证明由解析，有(?)(?)(?)证明由解析，同理有(?)(?)(?)P36定理2.3一、调和函数二、共轭调和函数设函数及均为区域D内的调和函数，定义函数在区域D内解析的充要定理条件是：在区域D内，v是u的共轭调和函数。则称v是u的共轭调和函数。注意v是u的共轭调和函数u是v的共轭调和函数。且满足C-R方程：P37定义2.4P37定理2.4三、构造解析函数问题已知实部u，求虚部v(或者已知虚部v，求实部u)，使解析，且满

3、足指定的条件。注意必须首先检验u或v是否为调和函数。方法偏积分法全微分法构造解析函数的依据：依据(1)u和v本身必须都是调和函数；(2)u和v之间必须满足C-R方程。方法偏积分法三、构造解析函数(不妨仅考虑已知实部u的情形)(1)由u及C-R方程(2)将(A)式的两边对变量y进行(偏)积分得：其中，已知，而待定。(3)将(C)式代入(B)式，求解即可得到函数得到待定函数v的两个偏导数：(A)(B)(C)C方法三、构造解析函数全微分法(不妨仅考虑已知实部u的情形)(1)由u及C-R方程得到待定函数v的全

4、微分：(2)利用第二类曲线积分(与路径无关)得到原函数：C0C1C2其中，或P39故是调和函数。由解(1)验证为调和函数P38例2.6修改解由由(2)求虚部。方法一：偏积分法解(2)求虚部。由方法二：全微分法C1C2解(3)求确定常数c根据条件将代入得即得故是调和函数。由解(1)验证为调和函数验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲P40例2.8由由解(2)求虚部。方法一：偏积分法验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲由方法二：全微分法(利用第二类曲线积分)C1C2验证为调和函数，并求以

5、例的解析函数使得为实部▲解(2)求虚部。由方法三：全微分法(利用“反微分”法)验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲解(2)求虚部。由方法四：直接利用已知的解析函数与“唯一性”故是解析函数的实部，验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲解(2)求虚部。解(3)求确定常数c根据条件将代入得即得验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲休息一下……附：知识广角——算子与算子哈密顿(Hamilton)算子“那布拉”拉普拉斯(Laplace)算子“德尔塔”则梯度设为向量场，则设为数量场，例如

6、拉普拉斯(Laplace)方程泊松(Poission)方程例如散度旋度(返回)