资源描述：
《解析函数和调和函数的关系.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.2解析函数和调和函数的关系教学目的：弄清调和函数与共轭调和函数的概念，能理解并掌握解析函数与调和函数的关系；并能灵活利用常用得三种方法（不定积分法、偏积分法、曲线积分法）求以调和函数为实部或虚部的解析函数．重点：不定积分法和偏积分法求解析函数．难点：曲线积分法求解析函数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.2.1调和函数的概念调和函数是有着广泛实际应用的一类函数（平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是特殊的二元实函数，即调和函数），它与解析函数有着密切的
2、联系．本节，我们将详细地介绍解析函数与调和函数的关系，并介绍利用调和函数来求解析函数的若干方法.【定义2.3】若二元实函数在区域内具有二阶连续的偏导数,且满足二维拉普拉斯方程（），则称为内的调和函数（或称在内调和），称为拉普拉斯算子.【定理2.3】若函数在区域内解析,则的实部和虚部都是内的调和函数.证在区域内解析,所以，在内可微，且在内满足C-R方程,，由解析函数的无穷可微性知和在内都具有任意阶连续的偏导数,从而也具有二阶连续的偏导数，所以；同理可证.故实部和虚部都是内的调和函数.§2.2.2共轭调和函
3、数【义2.4】若,都是区域内的调和函数,且在内满足柯西—黎曼方程,即,,则称为的共轭调和函数.下面研究复变函数的实部、虚部两个二元实函数与调和函数的关系.【定理2.4】若函数在区域内解析的充要条件是在内的虚部函数是实部函数的共轭调和函数.证明（必要性）因为在内解析，和都是D内的调和函数,且满足柯西—黎曼条件所以在内的虚部函数是实部函数的共轭调和函数.（充分性）在内的虚部函数是实部函数的共轭调和函数.所以，具有二阶连续偏导数且满足方程所以，具有一阶连续偏导数且满足方程故在区域内解析.注：10.由解析函数的
4、无穷可微性知,若函数在区域D内解析,则的任意阶导数在区域D内也解析,从而和的任意阶偏导数也都是D内的调和函数.20.两个二元实函数和都是区域D内的调和函数,不一定能保证复函数在区域D内解析.20的反例：易证,都是平面上的调和函数,但在平面上处处不解析.30.由第二章的解析函数的判别法知,设和都是定义在区域内的二元实函数,若为的共轭调和函数,则在内一定解析.提问：1.函数解析，则下列命题中错误的是（C）A、均为调和函数B、是的共轭调和函数C、的共轭调和函数D、的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭
5、调和函数.（×）3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数.（√）§2.2.3解析函数与调和函数的关系根据定理2.4来建立单连通区域内解析函数的一种求法.假设是一个单连通区域,是内的一个调和函数,即在内具有二阶连续的偏导数,并且从而,在内具有一阶连续的偏导数,（曲线积分与路径无关的条件）.再由高数中有关曲线积分与路径无关的条件得,存在内的二元函数,使得,于是,其中是内的一个定点,是内的一个动点,是任意实常数.另外我们还有,,即和在内满足柯西—黎曼条件,从而易得所以也是内的调和函数,并且为的共轭调和函数.故
6、由定理2.4,我们构造函数,就是内以为实部的解析函数.【定理】※（1）若是单连通区域内的一个调和函数,则一定存在函数,使得为内的解析函数,并且还有,其中是内的一个定点,是D内的一个动点,C是任意实常数.（2）同理可得若是单连通区域内的一个调和函数,则一定存在函数,使得为内的解析函数,并且还有,其中是内的一个定点,是内的一个动点,C是任意实常数.注:此定理给出了已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部),从而求出解析函数的一种方法――曲线积分法.由解析函数的实部或虚部求解析函数的举例例1证明是平面上的
7、调和函数,并求以为实部的解析函数,使得.证明：因为,,,,为正式函数，所以有二阶连续偏导数，所以,即是平面上的调和函数.下面，我们用三种方法来求满足题设条件的解析函数.方法1:（曲线积分法）由补充定理知取,（如图3.20）所以,再由条件,可得.故.方法2（微分方程中的常数变异法或称偏积分法）由条件得------------(Ⅰ)-----------(Ⅱ)由(Ⅰ)积分得-----------(Ⅲ)求(Ⅲ)对的偏导数代入(Ⅱ)得,即,所以(常数),从而,所求解析函数为.再由条件,可得.故.方法3（不定积分
8、法）：,其中,因为,，由解析函数的导数公式:得将,代入上式整理得，所以再由条件,可得.故.说明：从例1中所给的三种方法中，大家不难体会到，三种方法各有特点：方法1利用了高数中的第二型曲线积分的计算方法；方法2利用了求解微分方程的方法（常数变异法）；方法3是纯粹的复变函数的方法.在实际计算时可以根据具体的问题选择合适的方法计算.例2设为的解析函数，且已知,求函数.解：方程两边分别对求偏导数得：，由得：代入得：，（C为任意常数）从而，，所求函数
