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1、§4解析函数与调和函数的关系—、概念与结论1.定义与定理设g(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程:与+与=0dx~dy1则称g(x,y)为调和函数。若还有调和函数/&』)，与g(x,y)满足柯西黎曼方程，则相互称其为共觇调和函数。定理解析函数的实部和虚部皆为调和函数，但反之不然。证明设解析，.•.迦二空，色=一空，且dxdydydxf瓷二鹉二几,又色竺=主宾一空8x2dxdxdydxdy2dydydxdy'从而,=0。同理可证竽dx1又•・•/'(?)解析，故二阶偏导连续，d2v反之'如u=xyv=—y9易见
2、u，卩满足LapIace方程，但是，du_dv8xdy/(Z)=x-W=z处处不解析。例1若"*都是区域D内的调和函数，且满足柯西黎曼方程:¥=-?，则/(z)="(x,y)+h心,y)在区域D内oyoxA.是解析函数C.不一定是解析函数B.不是解析函数D.不一定是连续函数解A.正确。du_dvdxdy殁=-叟是f(z)»+iv解析的充要条件。dyox2.主要题型①调和函数的正问题和反问题;②对给定调和函数，求满足C-R条件汽和函数，构成解析函数f(z)=u+ivo证明•/ux=2x,uxx=2;mv=-2y,uvv=-
3、2nuxx+uvv=0,u=x~—y~为调和函数；=-—=2y=>v=2ydx=2xy+dyJ二、应用举例例2证明:u=x2-y2为调和函数，并求其共辘及其构成的解析函数W+ZVodv2十0)，又有詈=>g'(y)=o，g(y)二Cidudx=2x从而，v=2xy+Cl；f(z)=u+iv=兀2_y2+^2xy+C])=x2+2xyi+(yz)2+Cxi=(x+>7)2+CJ=z+C即为所求。注：令兀=z,y=0,得到/(z)=w+iv的关于变量z的表达式。例3求常数a,使得八(兀+ay^x2+4xy+y2)为调和函数
4、，并求解析函数f(z)=u+iv使/(0)=0<>解vA.=x2+4xy+y2+(兀+aylx+4y)=3x2+(8+2a)xy+(4°+l)y2,vxx=6x+(8+2ci)y,又％=4x2+4xy+/)+(x+6/))(4^+2y)=(4+«)x2+(&/+2)xy+^zyvvv=(8q+2)x+6ay,依题设，对V(x,y),vw.+vv>,=(8«+8)x+(8+8tz)y=0=>a=-i；从而，v=(x-y)(x2+4xy+y2)令殁二空=3/_6厂-oxdyj(3x2-6xy-3y2lx"一3亠3”+g(
5、y),.•詈—吋讪,又由乎=一?=-3x2-6xy+3y$=>g©)=3)^2,g(y)=y3+Cfdyox于是，u=x3-3x2y-3xy'2+y3+C,从而，f(z)=疋-3x2y-3xy2+)』+C+z(x-^)(x2+4xy+y?)"+c+々3=(1+姑+C又V/(o)=o=>C=0,即/(^)=(l+z)z第四章级数§1复数项级数数项级数1.复数项数列的极限定义1对复数列&“｝及常数Q,liman=a：>00对Vg>0，mN,>N,an-a<£o定理1设=an+ibn,a=a+ib,则liman=aolima
6、n=a,limbn=bo"TOCHT8证明由函极限存在定理立得。同时注意到，在极限存在时，有:lim%=lim(a”+ibn)=man+ilimb”./?—>oo”T8n—>con—>co<2a设有复数列｛0”｝：禹=，sin2_+/lnZL±llimf3n=lim巴二H—>8>8丄畀2川一»8计算limPnoH—>CO2.复数项级］A8定义2称少+色+•••+%+•••=》勺为复数项无穷级数，简称级数,n=其中前H项和：S“=內+口2+•••+&〃称为级数的部分和，且n=l83,并令级数工n=l=limSnoHT8
7、8级数工色收敛olimS“厶哼n-x»n=l定义3设级数f%收敛。若级数I收敛，则称级数绝对收0000不绝对收敛或条件收敛.敛；若级数工
8、勺
9、发散，贝I］称级数工勺M=l71=18工乞同时（绝对）收77=188定理2级数工（绝对）收敛O级数工〜??=!77=1敛。证明（略）。并容易证明:性质1（必要条件）若级数£匕?收敛,??=1贝ijliman=0o"TOO性质2（充分条件）若级数工
10、勺
11、收敛,??=18则级数工收敛。71=1例2判断下列级数的收敛性，是否绝对收敛?sinin8⑴工2”n=z⑵浮;⑶*。心皿n=l°_
12、n解(1)•••sinin=2isinin12TOO®Too）,从而由级数收敛的必要条件知，原级数发散。(2)・・・r=cos—+/sin2£cos号fsin号“=izi=i(-1)心00但是，£fl=]收敛，从而由级数收敛的充分条件知，原级S」z)=/](z)+/2(z)+・・・+九C）称为级数=£屮2+乞显然实部
