多元统计分析-第三章多元正态分布

《多元统计分析-第三章多元正态分布》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第三章多元正态分布多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广，一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。多元分析屮的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，首先要熟悉多元正态分布及其性质。第一节一元统计分析中的有关概念多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，首先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的方便，先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推广给出多元统计分析屮相应的概念和性质。一、随机变量及概率分布函数（一）随

2、机变量随机变量是随机事件的数量表现，可用X、丫等表示。随机变量X有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能够确定X取哪个数值；二是収值的统计规律性，即完全可以确定X取某个值或X在某个区间取值的概率。（二）随机变量的概率分布函数随机变量X的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为：F（x）=P（X

3、几（R=1,2,…）称P（X=xk）=pkCk=1,2,…）为离散型随机变量X的概率分布。离散型随机变量的概率分布具有两个性质：（1）几n0,k=1,2,…OO（2）m2、连续型随机变量的概率分布若随机变量X的分布函数可以表示为对一切“R都成立，则称X为连续型随机变量，称/（兀）为X的概率分布密度函数，简称为概率密度或密度函数。连续型随机变量的概率密度函数具有两个性质：(1)/«>0(2)匚/(兀皿T二、随机变量的数字特征(一)离散型随机变量的数字特征若X为离散型随机变量，其概率分布为P(X=耳)=几伙=1,2,…)，则X的数学期望(或称均值)和方差分别定义为：8“=E(X

4、)=工无几k=(f=D(X)=Vai(X)=E[X-E(X)]2=£(x,Pkk=(-)连续型随机变量的数字特征若X为连续型随机变量，其密度函数为/(%),则X的数学期望和方差分别定义为:Z/=E(X)=Q#(x)J(x)庆=D(X)=Var(X)=匚(无-〃)分⑴张方差的一个简便计算公式为a2=E(X2)-IE(X)]2(三)数学期望的数学性质1、设c是常数，则E(c)=c2、设X是随机变量，c是常数，则E(cX)=cE(X)3、设X、丫是任意两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)4、设X、Y是任意两个相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)(四)

5、方差的数学性质1、设c是常数，则D(c)=02、设X是随机变量，c是常数，则D(cX)=c2D(X)3、设X、Y是任意两个相互独立的随机变塑，则D(X+Y)=D(X)+D(7)三、一些重要的一元分布1、二项分布重复进行料次相互独立的试验，若每次实验仅有两个可能结果，每次实验成功的概率均为/儿设X为Z?次独立实验中成功出现的次数，则离散型随机变量X的分布律为:P(X=k)=pk(1-p)n'k,£二0,1,2,它丿其中，0vpvl,q=l-〃，〃为自然数，称X服从二项分布。二项分布中E(X)=np,方差为Var(X)=(j2=np(-p)。2、超几何分布若N个产品中有M个不

6、合格品，从N中随机不放冋地抽取〃个进行调查，X为出现的不合格品数，则离散型随机变量X的分布律为：kri—kP(X=k)=-—y———,k=0丄2,…,min(〃,M)则称X服从超儿何分布。当N很大，〃相对较少时，超儿何分布近似于二项分布。3、泊松分布若离散型随机变量X的分布律为：P（X=k）=k其中2>0,则称X服从泊松分布。泊松分布中E(X)=Afa2=Var(X)=Ao在A=np恒定的条件下，当〃趋于无穷,”趋于零时，二项分布趋向于泊松分布。4、正态分布若连续型随机变量X的概率密度函数为：则称X服从正态分布，记作X〜N(»q鋼,其中参数“、”2分别是随机变量X的数学期

7、望和方差。当“=0,1时，随机变量X的分布为标准正态分布。当〃很大，〃和q都不太大时，二项分布可用正态分布近似计算。5、卡方分布设随机变量X

8、,X2,…，X”皆服从2(0,1),且相互独立，则其平方和fX,2所服从的/=!分布称为卡方分布，记为：X〜力2(砒，〃为自由度，表示平方和土X；中独立随机变量/=1的个数。6、/分布9X设随机变量X〜N(O,1),丫~力"〃)，且X与Y相互独立，则随机变量t=^=ylY/n的分布称为r分布。记为[〜t(n),n为自rti度。随着自由度〃趋向于无穷大，/分布以标准正态分布为极