多元统计分析_第2章_多元正态分布_s

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1、第2章多元正态分布§2.1多元分布§2.2多元正态分布的定义及基本性质§2.3正态分布的条件分布和独立性§2.4矩阵正态分布§2.5参数的极大似然估计§2.6极大似然估计的性质1§2.1多元分布¾随机变量¾随机向量¾随机矩阵2随机向量：ξ=(ξ,ξ"ξ)′12p随机矩阵：ξ=(ξ)ijn×p注：随机矩阵拉直后就是随机向量，二者都是由多个随机变量组成，只是摆放形势不同.3一、多元分布函数定义2.1.1设ξ=(,ξξ,",ξ)′是一随机向量，12p它的多元分布函数()(ξξ,,,"ξ的联合分布函12p数定义为)()FxFxx=(,,",x)1

2、2p=≤≤P(ξx,ξx,",ξ≤x)1122ppp式中xxxxR=∈(,,,)"′，记作ξ~.F12p4多元分布函数的性质：(1)Fxx(,,",x)是每个变量xi(=12pi1,2,",)p的单调非降右连续函数.(2)0≤≤Fxx(,,"x,)112p(3)FxxF(−∞,,"",)=(,x−∞,,x)21pp==""Fxx(,,,)0−∞=12(4)F(+∞+∞,,",+∞=)15定义2.1.2设ξ~F，若存在一个非负的函数f(⋅)，使得xx12xpF(x)="f(t,t,",t)dtdt"dt∫∫∫12p12p−∞∞−∞−p对一切

3、x∈R成立，则称ξ(或F(X))有分布密度f(⋅)，并称ξ为连续型随机向量.6p一个多元函数f(⋅)能作为R中某个随机向量的分布密度，当且仅当p(1)f(x)≥0,∀x∈R(2)∫f(x)dx=1pR7分布函数与密度函数的关系：若x为f(x)的连续点，则0p∂F(x,",x)1pf(x)=0x=x0∂x"∂x1p8二、边缘分布定义2.1.3若ξ为p维随机向量，由它(1)的q(q

4、)=11qqP(ξ≤u,",ξ≤u,ξ≤∞,",ξ≤∞)11qqq+1p=F(u,",u,∞,∞,",∞)1q10若ξ有分布密度函数f(x)，则(1)P(ξ≤u)uuu12q∞∞∞="""ft(,,)tdtdtdt"∫∫∫∫∫∫11pp2−∞−∞−∞−∞−∞−∞uuu12q⎡⎤∞∞∞="""""⎢⎥ft(,,)tdtdtdtdt∫∫∫∫∫∫11pq+p1q−∞−∞−∞⎣⎦−∞−∞−∞11(1)ξ的边缘分布密度为(1)f(x,",x)=1q∞∞∞"f(x,",x,t,",t)dt"dt∫∫∫1qq+1pq+1p−∞−∞−∞12注：（1）有分

5、布密度函数，则它的任何边缘ξ分布也有分布密度函数；（2）若的任何边缘分布有分布密度函ξ数，并不能推出有分布密度ξ.132例如：ξ是R的单位圆周上的均匀分布，ξ无分布密度函数，但ξ的每个边缘分布有密度函数，可以计算出⎧1−x2⎪2arctg⎪−x−1

6、函数等于边缘分布函数的乘积；②若随机向量为连续型的，联合分布密度等于边缘分布密度的乘积；③若随机向量为离散型，联合分布列等于边缘分布列的乘积；④联合特征函数等于边缘特征函数的乘积.16m个随机向量相互独立的定义：如果m个随机向量中任意k(1＜k≤m)个随机向量的联合分布函数等于它们边缘分布函数的乘积，则称这m个随机向量是相互独立的.注意：相互独立两两独立17四、特征函数定义2.1.5设p维随机向量ξ~F(x),它的特征函数(c.f.)定义为Φ(t)=exp(it′x)dF(x)=E[exp(it′ξ)]ξ∫pRp其中t∈R,i=−1.18

7、随机矩阵ξ()pq×的特征函数(cf..)定义为Φ=()TE[exp((triT′′ξξ))]=EetriT(())ξ=E[exp((ivecT())′vec())]ξpq×其中TRi∈=,1−.19特征函数的性质：(1)Φ(0)=1,Φ(t)≤1,Φ(−t)=Φ(t).ξξξξp(2)Φ(t)在R上一致连续.ξ(3)(唯一性定理)若ξ~F,η~F,它们相应的12特征函数分别为Φ(t)和Φ(t),则ξηF=F⇔Φ(t)=Φ(t)12ξη由此知分布函数与特征函数是一一对应的,所以有时也记ξ~Φ(t).ξ20(4)若ξ与η是相互独立且维数相同

8、的随机向量,ξ~Φ(t),η~Φ(t),则ξ+η~Φ(t)Φ(t).ξηξη⎛ξ⎞(5)若ξ和η分别为p和q维随机向量,Φ表示⎜⎜⎟⎟的⎝η⎠特征函数,Φ(t)和Φ(t)分别为ξ和η的特征函数