多元统计分析第二章 多元正态分布

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1、第2章多元正态分布多元正态分析是一元正态分布向多元的自然推广。多元正态分布是多元分析的基础，多元分析的许多理论都是建立在多元正态总体基础上的。虽然实际的数据不一定恰好是多元正态的，但是正态分布常常是真实的总体分布的一种有效的近似。所以研究多元正态分布在理论上或实际上都有重大意义。限于篇幅，本章仅简介多元正态简单理论，细节可参看王学民（2004），张尧庭（2002），余锦华（2005），Richard（2003），朱道元（1999）等。现实世界的许多问题都可以纳入正态理论的范围内，正态分布可以作为许多统计量的近似的抽样分布。2.1随机向量2.1.1随机向量定义

2、2.1.1：称每个分量都是随机变量的向量为随机向量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。设是随机向量，其概率分布函数定义为：，为任意实数多元分布函数有如下性质：（1）；（2）是每个变量的非降右连续函数；（3）；（4）。多元分布和一元分布一样也分为离散型和连续型。连续型随机向量的分布函数可以表示为：，(2.1)称是的多元联合概率密度，简称多元概率密度或多元密度。19多元概率密度有以下性质：（1）非负；（2）；（3）2.1.2边缘分布、条件分布和独立性边缘分布设是维连续型随机向量，由其个分量组成的向量（不妨设）的分布称为的边缘分布，其边缘概率密度为：

3、(2.2)条件分布设是维连续型随机向量，,,在给定的条件下,的条件概率密度函数为：(2.3)独立性设是连续型随机向量,则相互独立当且仅当对任意成立。例2.1设随机向量的概率密度函数为试证相互独立。证明：19同理由于所以相互独立。2.1.3随机向量的变换设随机向量的概率密度函数为，函数组，其逆变换存在，即存在。则的概率密度为：(2.4)其中2.1.4数字特征数学期望随机矩阵的数学期望定义为(2.5)随机向量也可看作随机矩阵，它是只有一列的随机矩阵，其数学期望为：随机矩阵的数学期望有如下的性质：19（1），其中为常数；（2）设是常数矩阵，则；（3）设都是同阶的随

4、机矩阵，则。例2.2设，，则协方差矩阵设随机向量，，则与的协方差定义为：(2.6)简称为与的协差阵特别地，也称为随机向量的协方差矩阵（简称为协差阵）或方差，其中协方差矩阵的性质：（1）随机向量的协方差矩阵是非负定对称矩阵。（2）设是常数矩阵，是常数向量，则。（3）设为常数矩阵，则。相关矩阵设和分别为维和维随机向量，则与的相关矩阵（简称为相关阵）定义为：(2.7)19其中若，表示与不相关。2.1.5特征函数随机向量的特征函数定义为：（2.8）其中是与有相同维数的实向量。随机矩阵的特征函数定义为：（2.9）其中是与有相同阶数的实矩阵。2.2多元正态分布的定义及其

5、性质多元正态分布是一元正态分布向维的推广。一元正态分布的密度函数是：(2.10)一元标准正态分布的密度为：设是独立同分布，则的联合概率密度为：(2.11)其中，称服从元标准正态分布，记为，其中是阶单位矩阵。19定理2.2.1：若，则它的任意线性组合仍服从多元正态分布，且，从而。易见是一个非负定矩阵，记为。因此多元正态随机向量的分布用表示，其中。当时，就是退化的多元正态分布，不存在概率密度。当时，有逆。此时，有概率密度函数，其密度函数为：(2.12)上式就是常见的多元正态概率密度，记为。。例2.3设随机向量，则的特征函数为：例2.4设随机向量服从，则的特征函数

6、。证明：由定理2.2.1知，存在随机向量，使得，其中。于是例2.5设，其中由于，当时，。此时有，19的概率密度为：当时，上式简化为：当时，，此时不存在，是一个退化的二元正态分布，概率密度不存在，与以概率1线性相关。定理2.2.2：设是维随机向量,则的充分必要条件为其任一线性函数,服从分布。（证明参见余锦华等（2005））特别地,若,取,则,即的任一子向量服从正态分布,所以的任一边缘分布都是正态的。定理2.2.3：若,常数矩阵,则服从分布。进一步有,服从其中。（证明参见余锦华等（2005））推论：若,将分块为：,与相应分块：,,则。19定理2.2.4：若,则相

7、互独立的充分必要条件是：。（证明参见王学民（2004））这个定理告诉我们,要证明联合正态分布的分量是否独立时,只要证明他们的斜方差阵是否为0。例如：由于如果，根据定理2.2.4,就可以判定与是独立的。例2.6设是来自正态总体的样本，证明：与相互独立。证明：记,于是有。,其中,从而与相互独立,因此与的函数相互独立，即相互独立。例2.7设服从分布,其中。问与是否独立?和是否独立?19解：因为与的协方差,故他们不是独立的.又,将和划分为:由于和的协方差矩阵。因此由定理2.2.4,和相互独立。这意味着与独立,与也独立。定理2.2.5：设服从的分布，且。则给定时,的条

8、件分布是正态的,且，。（证明参见王学民（2004））