应用多元统计分析课件 02. 多元正态分布.ppt

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1、应用多元统计分析第二章多元正态分布2第二章多元正态分布本章主要讨论:●多元分布的基本概念●多元正态分布及其参数估计●多元正态分布的假设检验3第一节多元分布的基本概念本节基本内容:一、随机向量二、多元分布函数和多元密度函数三、边缘密度、独立性与条件分布四、多维随机向量的数字特征4一、随机向量所随机变量通俗理解就是“其值随机会而定”的量。本课程讨论的是多变量的情形，也即随机向量：设为个随机变量，由它们组成向量，则称作维随机向量。在不做特别说明的情况下，向量、矩阵用粗体表示；涉及总体的变量用大写字母表示，涉及样本的变量用小写字母表示；随机变

2、量用大写字母表示，其实现值用小写字母表示。5在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关关系。在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资料来推断总体。一、随机向量6如果同时对个变量作一次观测，得到观测值：,称观测值为一个样品；若这样的观测重复进行次，可得到个样品()。把这样的个样品放在一起，称之为一个样本。常排成矩阵：一、随机向量7需要说明的是，从横向看，矩阵的第行表示对第个样品的一次观测值。当然，在获得具体观测

3、之前，是一个维随机向量。从纵向上看，矩阵的第列表示对第个变量的次重复观测值，在获得具体观测之前，是一个随机变量。一、随机向量8二、多元分布函数和多元密度函数随机向量(变量)离散型、连续型刻画随机向量(变量)分布函数、密度函数9分布函数设为一随机向量，它的多元分布函数定义为：记为。随机向量的统计特性可用它的分布函数来完整地描述。二、多元分布函数和多元密度函数10密度函数(设为维随机向量)连续型。若称为的的联合分布密度函数。离散型。若存在有限或可列个维向量，使得，且满足，则称()为的概率分布(本质上为密度函数)。二、多元分布函数和多元密度

4、函数11以连续型变量为例进行讨论。多维随机向量的边缘密度。若为维随机向量，由它的()个分量组成的子向量的分布称为的边缘(边际)分布。通过变换中的各分量的次序，总可以假定正好是的前个分量，其余个分量记为，则可表示为：三、多维随机向量的边缘密度、独立性与条件分布12此时，的分布函数为。若的联合分布密度为，则的边缘密度函数为：，(2.3)多维随机向量的独立性。若个随机变量的联合分布密度等于各自边缘分布的乘积，则称是互相独立的。三、多维随机向量的边缘密度、独立性与条件分布13多维随机向量的条件分布。当的密度函数为，的密度函数为时，给定时的条件

5、密度为称给定时的分布为条件分布。三、多维随机向量的边缘密度、独立性与条件分布14概率分布是对随机变量的概率性质最完整的刻画。优点是刻画的完整性，不便之处在于表示形式有时是非常复杂的。而随机变量的数字特征，则是指某些由随机变量的分布所决定的常数，它刻画了随机变量(或者其分布)的某一方面的性质。对于多维随机变量刻画其性质的最重要的数字特征有均值、自协差阵与协差阵及相关矩阵。为了便于讨论，设为维随机向量，为维随机向量。四、多维随机向量的数字特征15若()存在，则随机向量的均值可定义为：其中是一个维向量，称为均值向量。四、多维随机向量的数字特

6、征16若和的协方差()存在，则称为的自协差阵(简称协差阵)，有时，把简记为。四、多维随机向量的数字特征17若和的协方差()存在，则随机向量、的协差阵记为若(表示零矩阵)，则称与不相关。四、多维随机向量的数字特征18随机向量均值及协差阵具有如下性质：(1);(2);(3)；(4)；(5)为非负定对称矩阵；(6);(7)。四、多维随机向量的数字特征19若维随机向量的协差阵存在，且每个分量的方差大于零，则称随机向量的相关阵为其中四、多维随机向量的数字特征20若记为自协差阵对角线元素的平方根形成的对角矩阵，则自协差阵和相关阵的关系可表述为：四

7、、多维随机向量的数字特征21第二节多元正态分布及其参数估计本节基本内容:一、多元正态分布密度函数二、多元正态分布的数字特征三、多元正态分布的参数估计四、多维随机向量的数字特征22用来刻画多维随机向量统计特性的常见的多元分布有很多，除了多元正态分布还有多元对数正态分布、多项式分布、多元超几何分布、多元分布、多元分布、多元指数分布等。这里主要介绍多元正态分布，其原因是多元统计分析的主要方法是建立在多元正态分布的假设之上的。尽管实际分析数据可能不会严格服从多元正态分布的，但有三个原因使多元正态分布在实际中有着广泛的应用：一是，正态分布在许多

8、情况下确实能作为真实总体的一个近似；二是，根据中心极限定理，不论总体的分布如何，许多统计量的分布是近似正态分布的；三是，很多检验统计量的分布对正态分布条件是稳健的，即原始资料对正态的偏离对检验结果影响不大。23若维随机向