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1、基本不等式的证明及应用教学目标知识目标:探索并了解基本不等式陌s凹(G,bno)的证明过程,体会证2明不等式的基本方法,能应用基本不等式解决一些简单问题,渗透数形结合和等价化归等数学思想.能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力.情感目标:培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统一,领略数学的应用价值,激发学生的学习兴趣.教学重点、难点基木不等式陌§凹(aQO)及其证明.2教学过程一、问题情境1•有一架天平两臂之长略有差异,其他均精确,小王要用它来称一物体的重量,将此物体放在左
2、右两个托盘各称一次,再将称的的数据相加后,除以2所得的结果就认为是物体的真实重量,你认为小王所测量结果是否准确?如果不准确,比真实重量是重还是轻?你能给小王提供一种用这架天平称量此物体真实重量的方法吗?2.引入课题设第一次称量时,放物体一边的臂长为厶,另一边的臂长为d称得物体的重量为a,第二次称得物体的重量为b,用小王的方法所得的结果为A二凹,这2样合理吗?事实上,设物体的实际质量为M,根据力学原理有側=2,①l2M=l}a,②①②相乘再除以“2,可以得到M=y[cib・问题:A=—与M二芯是否相等
3、?若不相等,大小关系又怎样?2二、学生活动1•对于非负数g,b,称"*"为a、方的算术平均数,为方的儿何2平均数.2.学生分组讨论.3.学生通过取一些具体数据进行探究.a30599270251120b399923995410020-fab34.2176.434683.2536.7433.1720a+b234.57957.584.539.555.5204.猜想:若g>0,/?>0,当qH/?时,4ab<"*";当a=b时,4ab="十"22当gvO,bvO时,很明显4^=°+";当"<0时,无意义.2
4、5•初步结论:如果«>0,方>0,那么4^b<^-成立.2点评:诱发学生深入思考问题,教会学习、研究的方法一一从特殊到一般是科学探求未知的有效手段.三、建构数学1•呈现课题:基本不等式的证明.引导学生分析、思考,给出基本不等式的证明,点评有关问题.2.基本不等式的证明:证法1:(比较法)a+b~T~-4ab——+(V^)~—2,y[ci2=-(/a-4h)2丫0・2证法2:(分析法)要证a+b~T~只要证2y[cib0,只要证只要证最后一个不等式成立,所以4ab
5、<—成立,当且仅当o=b时取“二”・证法3:(综合法)对于正数a、b有点评:(1)由证明过程可以发现,当且仅当。二方时,两个均值相等,并解释“当且仅当”两方面的含义.(2)强调结论成立的条件:a,b都是非负数,并举反例加以说明.(3)比较法、分析法、综合法都是证明不等式的基本方法.3•通过严格的证明,得到下列结论:定理:如果a、b是正数,那么血5凹(当且仅当a=b时取“二”)•让学生根据右图,尝试给出上述基本不等式的几何解释,并思考这个基本不等式的其他证明方法.4•对版5凹的儿何解释:2~D如图,在
6、圆O中:4B为圆的直径,弦DD'丄垂足为C,AC=a,BC=b,由射影定理:CD2=ACCB,CD=JACCB=4ab,则弦DD=2临;而直径AB>弦.所以a--b>iJcib,变形得:4ab<,当点C与圆心O重合时,即a=b时取等号.点评:抓住时机,渗透数形结合思想,引导学生善于捕捉的暗示信息,从多方位、多角度去理解并掌握所学知识,提升思维的灵活性.5.教师点评:(1)这个基木不等式的几何解释,即“半弦5半径”・(2)这个基本不等式可否推广到“斤个5>1,mgN)菲负数”的情形,有兴趣的同学可以
7、课后查阅有关资料.四、数学运用(一)例题例1•已知G、方为正数,试证明下列不等式:(1)-+->2;(2)□+丄»2・aba分析:可直接应用基本不等式进行证明,并注意基本不等式的应用条件.证明:(略)例2•已知函数y=x+—-,xg(-2,+oo),求此函数的最小值.无+2分析:不能直接使用基本不等式,应将其变形为(兀+2)+出-2,并对前x+2两项使用基本不等式.解:(略)点评:(1)在使用基本不等式求函数最值吋,常需要将函数形式进行变形,以创造条件使用基木不等式.(2)在利用基本不等式求函数最值
8、时,应注意“一正、二定、三相等”,即必须两个量都是正数(也可是非负数),才能直接使用基本不等式;要把函数式放缩到常数;等号才能取到.(二)练习1.若兀>0,贝d/(X)=w值为,此时兀=;31.若xvO,贝IJ/•(%)=〒+_有值为,此时兀=;X2.己知x>0,y>0,且兀+y=2,求厂的最大值;4•已知x>0,y>0,且xy=,求兀+y的最小值;7,5.已知Ov兀v—,求函数y=x(2-3x)的最大值.让学牛板演,教师评析•做到师牛互动;讲练结合.五、回顾小结让