《基本不等式的证明及应用》优质课比赛教案

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1、基本不等式的证明及应用教学目标知识目标:探索并了解基本不等式陌s凹(G,bno)的证明过程，体会证2明不等式的基本方法，能应用基本不等式解决一些简单问题，渗透数形结合和等价化归等数学思想.能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力.情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.教学重点、难点基木不等式陌§凹(aQO)及其证明.2教学过程一、问题情境1•有一架天平两臂之长略有差异，其他均精确，小王要用它来称一物体的重量，将此物体放在左

2、右两个托盘各称一次，再将称的的数据相加后，除以2所得的结果就认为是物体的真实重量，你认为小王所测量结果是否准确？如果不准确，比真实重量是重还是轻？你能给小王提供一种用这架天平称量此物体真实重量的方法吗？2.引入课题设第一次称量时，放物体一边的臂长为厶，另一边的臂长为d称得物体的重量为a,第二次称得物体的重量为b,用小王的方法所得的结果为A二凹，这2样合理吗？事实上，设物体的实际质量为M,根据力学原理有側=2，①l2M=l}a,②①②相乘再除以“2，可以得到M=y[cib・问题：A=—与M二芯是否相等

3、？若不相等，大小关系又怎样？2二、学生活动1•对于非负数g,b,称"*"为a、方的算术平均数，为方的儿何2平均数.2.学生分组讨论.3.学生通过取一些具体数据进行探究.a30599270251120b399923995410020-fab34.2176.434683.2536.7433.1720a+b234.57957.584.539.555.5204.猜想：若g>0,/?>0,当qH/?时，4ab<"*";当a=b时,4ab="十"22当gvO,bvO时，很明显4^=°+"；当"<0时，无意义.2

4、5•初步结论：如果«>0,方>0,那么4^b<^-成立.2点评：诱发学生深入思考问题，教会学习、研究的方法一一从特殊到一般是科学探求未知的有效手段.三、建构数学1•呈现课题：基本不等式的证明.引导学生分析、思考，给出基本不等式的证明，点评有关问题.2.基本不等式的证明:证法1：（比较法）a+b~T~-4ab——+(V^)~—2,y[ci2=-(/a-4h)2丫0・2证法2：（分析法）要证a+b~T~只要证2y[cib0,只要证只要证最后一个不等式成立，所以4ab

5、<—成立，当且仅当o=b时取“二”・证法3：(综合法)对于正数a、b有点评：(1)由证明过程可以发现，当且仅当。二方时，两个均值相等，并解释“当且仅当”两方面的含义.(2)强调结论成立的条件：a,b都是非负数，并举反例加以说明.(3)比较法、分析法、综合法都是证明不等式的基本方法.3•通过严格的证明，得到下列结论：定理：如果a、b是正数，那么血5凹(当且仅当a=b时取“二”)•让学生根据右图，尝试给出上述基本不等式的几何解释，并思考这个基本不等式的其他证明方法.4•对版5凹的儿何解释:2~D如图，在

6、圆O中：4B为圆的直径，弦DD'丄垂足为C,AC=a,BC=b,由射影定理：CD2=ACCB,CD=JACCB=4ab，则弦DD=2临；而直径AB>弦.所以a--b>iJcib,变形得：4ab<,当点C与圆心O重合时，即a=b时取等号.点评：抓住时机，渗透数形结合思想，引导学生善于捕捉的暗示信息，从多方位、多角度去理解并掌握所学知识，提升思维的灵活性.5.教师点评：（1）这个基木不等式的几何解释，即“半弦5半径”・（2）这个基本不等式可否推广到“斤个5>1,mgN）菲负数”的情形，有兴趣的同学可以

7、课后查阅有关资料.四、数学运用（一）例题例1•已知G、方为正数，试证明下列不等式：（1）-+->2；（2）□+丄»2・aba分析：可直接应用基本不等式进行证明，并注意基本不等式的应用条件.证明：（略）例2•已知函数y=x+—-,xg（-2,+oo）,求此函数的最小值.无+2分析：不能直接使用基本不等式，应将其变形为（兀+2）+出-2,并对前x+2两项使用基本不等式.解：（略）点评：（1）在使用基本不等式求函数最值吋，常需要将函数形式进行变形,以创造条件使用基木不等式.（2）在利用基本不等式求函数最值

8、时，应注意“一正、二定、三相等”，即必须两个量都是正数（也可是非负数），才能直接使用基本不等式；要把函数式放缩到常数；等号才能取到.（二）练习1.若兀>0,贝d/（X）=w值为,此时兀=；31.若xvO,贝IJ/•（%）=〒+_有值为,此时兀=；X2.己知x>0,y>0,且兀+y=2,求厂的最大值；4•已知x>0,y>0,且xy=,求兀+y的最小值;7,5.已知Ov兀v—,求函数y=x（2-3x）的最大值.让学牛板演，教师评析•做到师牛互动；讲练结合.五、回顾小结让