《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》

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时间:2018-11-07

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1、“基本不等式”教学设计一.教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5)》(人教A版)第三章第4节第一课时,主要内容为基本不等式的推导与简单应用.它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据,从利用基本不等式求最值这个侧面来体现基本不等式的应用,而且在基本不等式的推导过程中渗透了分析法的解题方法,为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔,同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法,此内容都是学生今后学习中必备的数学素养.二.学情分析学生有了不等式的基本知识作为铺垫,对不等式的学习已具备基本的认识,而基本不等式来自生活,是从生活中抽象而来的,只要我们选材得当,能够激发学生的学习兴趣,学

2、生也能够较容易理解基本不等式的推导,且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的.三.目标分析教学目标:1.学会推导并掌握基本不等式,理解基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等.2.探索并了解基本不等式的证明过程,在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程,领悟数形结合思想的应用.3.培养学生生活问题数学化,并注重运用数学解决生活中实际问题的意识,有利于数学生活化、大众化,同时通过学生自身的探索研究,领略获取新知的喜悦.教学重难点:本节课教学重点是应用数形结合的数学思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程.教学难点是基本不等式等号成立

3、条件.四.教学策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略.利用数形结合、类比归纳的思想,层层深入,通过学生自主探究,分析、整理出推导公式的不同思路.同时,借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,并通过教师的点拨引导,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破难点.教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合第-7-页共7页学法:自主学习与合作讨论相结合教学手段:黑板板书为主结合多媒体辅助教学五.教学过程Ⅰ.创设情境引入课题填写下表,与的大小关系……【问题1】观察与的大小关系,从中你发现了什么结论?猜想得到结论:一般的,如果【问题2】你能给出它的证明吗?证法1用比较法证明:作差=变形=判断

4、符号当且仅当,即时取取等条件证法2用分析法证明:要证(1)只要证(2)要证(2),只要证0(3)要证(3),只要证(4)显然,(4)是成立的.当且仅当时,(4)中的等号成立.设计意图:第-7-页共7页通过引导,让学生去证明猜想的结果,进一步巩固比较两个代数式大小的方法,并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法.师归纳:(1)如果把看作是正数的等差中项,看作是正数的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)在数学中,我们称为的算术平均数,称为的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.Ⅱ.自主探究

5、深化认识1.认识基本不等式的几何背景【问题3】能否给基本不等式一个几何解释呢?探究:课本第110页的“探究”在右图中,是圆的直径,点是上的一点,,.过点作垂直于的弦,连接、.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?易证∽,那么,即.这个圆的半径为,显然,它大于或等于,即,其中当且仅当点与圆心重合,即时,等号成立.因此:基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”设计意图:通过展示均值不等式的几何直观解释,培养学生数形结合的意识,并使抽象的问题更加直观、形象,使学生进一步加深对均值不等式的理解.2.拓广探究(展示并介绍古代弦图)同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图,叫做弦图.它是由我国三

6、国时期的数学家赵爽设计的.早在1300多年以前,这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理,这是世界上最早证明勾股定理的方法之一.弦图不仅造型美观,而且蕴藏着很多玄机.第-7-页共7页(展示24届国际数学家大会会标)大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标.这个会标设计源于古代弦图.它的色调明暗相间,使它看上去象一个风车,这不但象征中国人民的热情好客,同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献.今天咱们也来研究一下弦图.教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.1.探究图形中的不等关系【问题4】请观察会标图形,图中有哪些特殊的几何图形?它

7、们在面积上有哪些相等关系和不等关系?将图中的“风车”抽象成如图,在正方形中四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为那么正方形的边长为.这样,4个直角三角形的面积的和是,正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:.(利用多媒体演示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.)【问题5】大家看,这个图形里还真有点奥妙.我们从图中找到

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