《“基本不等式”优质课比赛教学设计及反思》-

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2、“基本不等式”教学设计一．教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A版）第三章第4节第一课时，主要内容为基本不等式的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从利用基本不等式求最值这个侧面来体现基本不等式的应用，而且在基本不等式的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养．二．学情分析学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发

3、学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．三．目标分析教学目标：1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用．3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦．教学重难点：本节课教学重点是应用数形结合的数学思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明

4、过程．教学难点是基本不等式等号成立条件．四．教学策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合

5、学法:自主学习与合作讨论相结合教学手段:黑板板书为主结合多媒体辅助教学五．教学过程Ⅰ．创设情境引入课题填写下表，与的大小关系……【问题1】观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？猜想得到结论：一般的，如果【问题2】你能给出它的证明吗？

6、证法1用比较法证明：作差=变形=判断符号当且仅当，即时取取等条件证法2用分析法证明：要证(1)只要证(2)要证（2），只要证0（3）要证（3），只要证（4）显然，（4）是成立的．当且仅当时，（4）中的等号成立．设计意图:

7、通过引导，让学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法．师归纳：（1）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.（2）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均

8、数不小于它们的几何平均数.Ⅱ．自主探究深化认识1.认识基本不等式的几何背景【问题3】能否给基本不等式一个几何解释呢？探究：课本第110页的“探究”在右图中，是圆的直径，点是上的一点，,．过点作垂直于的弦，连接、．你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证∽，那么，即.这个圆的半径为，显然，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”设计意图:通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解．2.拓广探究（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到

9、的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图．它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的．早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一．弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机．

10、（展示24届国际数学家大会会标）大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标．这个会标设计源于古代弦图．它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献．今天咱们也来研究一下弦图．教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．1．探究图形中的不等关

11、系【问题4】请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?将图中的“风车”抽象成如图，在正方形中四个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．(利用多媒体演示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积．)【问题5】大家看，这个图形里还真有点奥妙．我们从图中找到了一个不等式．这里、的取值有没有什么限制