2-3-2列方程组解应用题教师版

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列方程组解应用题1、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量2、用代数法来表示各个量：利用表示出所有未知量或变量3、找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）—、列方程解应用题的主要步骤1.审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系；2.用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量；3.找到题目中的等量关系，建立方程；4.解方程;5.通过求到的关键量求得题目最终答案.二、解二元一次方程（多元一次方程）消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程.消元方法主要有代入消元和加减消元.模块一、列方程组解应用题【例1】30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨。每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设每辆卡车和每辆小车每次各运货兀、y吨，根据题意可得：严+3尸75产245兀+6y=120[y=5所以，每辆卡车每次运货2吨，每辆小车每次运货5吨。【答案】每辆卡车每次运货2吨，每辆小车每次运货5吨【巩固】甲、乙二人2时共可加工54个零件，甲加工3时的零件比乙加工4时的零件还多4个.问：甲每时加工多少个零件？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲每小时加工兀个零件，乙每小时加工y个零件.则根据题目条件有：f2x+2?=:_[x=16弓,解得[3兀一今==h(x+2°+订(兀一26)»,6kI15J5k(15.解得x=46.所以，A、B两地相距92千米.【答案】A、3两地相距92千米【例18］甲、乙两人分别从4、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点•如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，贝IJ相遇点Q距C点10千米.如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从4、3两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米•问：甲原来的速度是每小时多少千米？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】甲速度不变，乙每小时多行4千米，相遇点D距C点10千米，出发后5小时，甲到达C,乙到达F,因为乙每小时多行4千米，所以FC=4x5=20千米，那么FD=DC=千米，也就是说相遇后相同的时间内甲、乙走的路程相同，也就是说原来甲比乙每小时多行4千米.乙速度不变，甲每小时多行3千米，相遇点E距C点5千米，出发后5小时乙到达C,甲到达G,因为甲每小时多行3千米，所以GC=3x5=15千米.那么GE=千米，EC=5千米.所以EG=2EC,即相遇后在相同的时间甲走的路程是乙的2倍，所以甲每小时多行3千米后，速度是乙的两倍.于是可列得方程组：］衍二吃,解得J=11,所以甲原来每小时11千米.山卩+3=2吃I吃=7【答案】甲原来每小时11千米49【例19］甲、乙二人共存款100元，如果甲取出'，乙取出兰，那么两人存款还剩60元•问甲、乙二人各97有存款多少元？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲存款兀元，乙存款y元，根据题目条件有两条等量关系，一是两人存款加起来等于1()0元，二是取钱后两人存款加起来有60元.由此可列得方程组：x+y=100<42—x+—y=100-60〔9丁{r=72，所以甲存款72元，乙存款28元.y=28【答案】甲存款72元，乙存款28元【巩固】甲、乙两个容器共有溶液2600克，从甲容器取出丄的溶液，从乙容器取出丄的溶液，结果两个容45器共剩下2000克•问：两个容器原来各有多少溶液？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲容器有溶液兀克，乙容器有溶液y克，根据题目条件有两条等量关系，一是两容器溶液加起来等于2600克，二是取溶液后两容器加起来有2000克.由此可列得方程组：兀+y=2600方程组最终解得r=160°,所以甲容器中有溶液woo克，乙容器中有溶液1ooo克.y=1000【答案】甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克 【例20］某班有45名同学，其中有6名男生和女生的丄参加了数学竞赛，剩下的男女生人数正好相等.7问：这个班有多少名男生？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设有兀名男生和y名女生，那么根据题目条件有两条等量关系：一是原来男女生人数和为45人，二是剩下的男女生人数相等，由此可列得方程组：兀+y=45（1）x-6=y1—77丿y—24该方程组解得q,所以这个班有24名男生.）=21【答案】这个班有24名男生【巩固】甲、乙两班人数都是44人，两班各有一些同学参加了数学小组的活动，甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的丄，乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的丄，那么共有多少人未参加数34学小组？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲、乙两班参加数学小组的人数分别为兀人、y人，未参加人数分别为（44-%）人、（44-y）人,由题设已知条件可以得到：兀=*(44_刃-(44-x)=j解之得x=12=8所以未参加兴趣小组的人数=（44-x）+（44_y）=68人.【答案】未参加兴趣小组的人数68人【例211一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽.在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶;在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍.问：男孩、女孩各有多少人？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设男孩有无人，女孩有y人.根据条件可列方程：］（兀一1）一）9’由第一条方程可以得到x=6+y,x=2（y-l）x=14代入第二条方程得到6+y=2（y-l）.解得y=再代入第一条方程.方程解得-.所以男孩y=8有14人，女孩有8人.【答案】男孩有14人，女孩有8人【巩固】有大小两盘苹果，如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果一样多；如果从小盘里拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果的个数是小盘苹果数的3倍•大、小两盘苹果原来各有多少个？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设原来大盘有苹果兀个，小盘有苹果y个.那么可列方程组：x-l=y+lx+l=3(y—l)方程组解得鳥所以大盘原来有苹果5个，小盘原来有苹果3个.【答案】大盘原来有苹果5个，小盘原来有苹果3个【巩固】教室里有若干学生，走了10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少名女生？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设原来男生人数为兀，女生人数为y,那么根据题目条件有以下数量关系： "210）〔5—坠妙-（V—1Q方程组化简为：,所以最初有15名女生•y=15【答案】以最初有15名女生【例22]一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9:7；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7:5・这群羊原来有多少只？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设原来公羊有兀只，母羊有y只，那么根据题目条件有以下数量关系：丿（"一1）・[-9.7,根据X：（y-1）=7：5{y=28-,所以这群羊原来有28+21=49只.），=21【答案】这群羊原来有49只【巩固】口袋中有若干红色和白色的球.若取走一个红球，则口袋中的红球占若取出的不是一个红7球而是两个白球，则口袋中的白球占？・原来口袋中白球比红球多多少个？3【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答（兀-1）=刁（兀+yj）【解析】设原来红球数为％,白球数为y,那么根据题目条件有以下数量关系：1ZK2Z卜_2）=亍（兀+y_2）x=9方程组解得q-,原来口袋中白球比红球多20-9=11个.y=20【答案】原来口袋中白球比红球多11个【例23]甲、乙两种商品的原来价格比是7:3.如果它们的价格各自上涨70元，它们的价格比变为7:4.求甲乙两种商品的原价各是多少元？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】方法1:设甲乙两种商品原来价格分别为7x元，3兀元，根据涨价后价格比为7:4,列方程得（7尢+70）:（*+70）=7:<,解得兀=30,原来两种商品的原价各是7x30=210元，3x30=90元方法2：x_7y3设甲乙两种商品原价各是兀元,y元，依题意列方程组得K+70J+707解得=—4兀=21()y=90甲乙两种商品原价各是210元,90元方法3：由于原来两种商品相差7-3=4份，涨价后相差7-4=3份，由于涨价钱数相同，所以应涨[3,4]=12份，所以原来两种商品的价格比7x3:3x3=21:9,涨价后价格比7x4:4x4=28:16,所以价格涨了7份，恰是70元，所以1份是10元，所以原来两种商品的价格各是为210元，90元【答案】原来两种商品的价格各是为210元，90元【巩固】兄弟两人每月收入比4:3,支出钱数比18:13,他们每月都节余360元，求兄弟两人月收入各多少？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】方法1:设兄弟两人每月收入分别为4x元，3兀元，根据支出钱数比18:13列方程得（4r-360）KO）,解得x=900,所以兄弟两人收入各是4x900=3600元， 3x90827元 ［兀・—彳"3方法2:设兄弟两人月收入各是皿『元根据两个比例列方程得（莒6。）：（旷36。）=18:13解得lx=36OO所以兄弟两人收入各是3600元，2700元［y=2700方法3:由于兄弟结余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差为4-3=1份，支出差为18—13=5份，所以收入差应为和支出差应为5份，所以兄弟收入比为4x5:3x5=20:15,所以结余应为20-18=15-13=份对应360元，所以1份就是180元，所以兄弟两人月收入各是180x20=3600元,180x15=2700元【答案】兄弟两人月收入各是3600元，180x15=2700元【例24］小明用8个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞.求小长方形的长和宽？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】由甲图可以看出小长方形的长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽，由乙图可以看出小长方形的3个长等于小长方形的5个宽，所以设小长方形的长为兀cm,宽为ycm,依题意列方程3x=5v7解得x=10y=6【答案】长10厘米，宽6厘米【例25］如图，图中5、8和10分别代表包含该数字的三个三角形的面积.试问：包含X这个字母的四边形面积是多少？【考点】列方程组解应用题【难度】4星【題型】解答【解析】如图，设虚线把四边形X分成面积为a、b的两个三角形.利用同高的两个三角形面积之比等于相应底边之比，可得：-=5+10（可化简为2a-h=S）和-=8440a8+€/+/?b5+6/4/?由这两条方程构成方程组：a=10方=12，;竄人方程组可解得」所以四边形X的面积为10+12=22【答案】四边形X的面积为22（可化简为5b-4d=20）,【例26］图中的三角形都是等边三角形，三角形A的边长是24.7,三角形B的边长是26・问：所夹三角形C的边长是多少？ A2【考点】列方程组解应用题【关键词】华杯赛，总决赛【解析】如图，设相应的三角形的边长是兀和y,则可知:【难度】4星标号为1的三角形的边长是：26-x标号为4的三角形的边长是：x-y标号为3的三角形的边长是：y-(x-y)=2y-x最小的三角形的边长是：x-(26-x)=2x-26;标号为2的三角形的边长是：2y-x+2x-26=为+x或26-尤一(2尤一26)=52-3兀所以,x+y=24.7y+2兀=39解上述方程,兀=14.3)，=10.4可以得到三角形C的边长是15.6.【答案】三角形C的边长是15.6【考点】【解析】【例27］甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人所拿的自然数得分，重复玩了3次后，甲共得19分，乙和丙各得13分，那么这三张牌上写的数是哪三个数？【题型】解答列方程组解应用题【难度】3星三张牌上的三个数之和是(19+13+13)一3=15・因为3不能整除13和19,所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，，又因为谁也没有拿到三张牌各1次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次.设三张牌从大到小写的数依次为a、b、c.由乙、丙各得13分，推知乙、丙的三张牌是c、c、。和b、b、c.则甲的三张牌是g、g、b.a+a+b匕90b+b+cl=3()c+c+a1=3()由2x(1)-(2)^46/-c=25.由2x(4)+(3)得9g=63,从而a=7(4).将a=7代入⑴、⑶得b=5,c=3.【答案】所以，三张牌从大到小写的数依次是7,5,3.三张牌从大到小写的数依次是7,5,3【例28］三张卡片上分另标有“、q.r数码(整数)且0游戏时将三张卡片随意分发给A、B、C三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干轮，结果A、3、三人得分总数分别为20、10、9.已知B在最后一轮的得分是尸，那么⑴在第一轮得分是q;(2)P、q、厂分别是、、•【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】陈省身杯【倉军析】三人总分为20+10+9=39=1x39=3x13.如果游戏进行了39或13轮，则p+q+r=1或3,与0=120A-4碌，代入最后一个式子，6x(120A—44Q+4=k,即721A=265£,所以4=265,£=721.于是，B=191,C=148,£>=129,£=76.【答案】井深721,甲家绳长265,乙家绳长191,丙家绳长148,丁家绳长129,戊家绳长76【例36］在同一路线上有4个人:第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇是16时.开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？【考点】列方程组解应用题【难度】5星【题型】解答【解析】12时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用，所以我们从12时开始考虑.设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为b.c、cl,设在12时骑自行车的与坐汽车的距离为兀，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y. 兀=2（a+d）（1）兀+y=4（a+/?）..…（2）x+y=5（b+c）.（3）y=6（/?-〃）（4）(1)x2+(3)x2-(2)-(4)得至U3x=10(c+〃)，艮卩兀=—(c+d)设骑自行车的在/时遇见骑助力车的，则x=(r-12)x(c+J),即r-12=—,所以r=15-.所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的.【答案】骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的【例37］河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到0,然后穿过湖到共用3小时.若他由R到Q再到P,共需6小时.如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度,那么从P到Q再到R需丄小时.问在这样的条件下，从R到Q再到户需几小时？【考点】【解析】2列方程组解应用题【难度】5星【题型】解答设游泳者的速度为1,水速为y,PQ=ci,QR=b,则有：a-o+b=3i+ya+b_5+y~2Cl+b=6w且有1+y、1一y、y均不为0.⑴-⑵得旣洛即”詈(3)-(1)得譽=3,即「班®)（4）2ySz1+v由（2）、（4）、（5）得：_x（l+y^=a+b=——x（4—3y）,即5y=4-3y•22y于是，y=由(2)得：a+b=^x([+丄15~41）2丿=□小时.2即题中所述情况下从R到Q再到P需匕小时.-2【答案】从R到Q再到P需罗小时