2-3-3列不定方程解应用题教师版

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1、列不定方程解应用题1、熟练掌握不定方程的解题技巧2、能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.

2、在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例1］把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数.【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】这是一道整数分拆的常规题.可设拆成的两个数分别为llx和13y,则有：llx+13y=2001,要让x取最小值，y取最大值.二仏2001-11%1

3、3x153+12-13x4-2%12+2%—-rn12+2兀日曲总可把式子变形为：y===153-x+,可见是整数，13131313满足这一条件的x最小为7,且当兀=7时，y=148.则拆成的两个数分别是7x11=77和148x13=1924.【答案】则拆成的两个数分别是77和1924.【巩固】甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖.问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲搬的是1张块，乙搬的是23y块.那么18x+23j=300.观察发现18x和300都是6的倍数，所以y也是6的倍数.由于y

4、<3004-23^13,所以y只能为6或12.y=6时1=162,得到x=9;y=12时1张=24,此时兀不是整数，矛盾.所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块.【答案】甲比乙搬得多，多24块【巩固】现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设5角和8角的邮票分别有兀张和y张，那么就有等量关系：5x+8y=47・尝试y的取值，当y取4时，兀能取得整数3,当y再增大，取大于等于6的数时，兀没有自然数解.所以8角的邮票需要4张.【答案】8角的邮票需要4张【例2］用十进制表示的某些自然数，

5、恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】若是四位数臥则16x(°+方+c+〃)W16x36vl(X)0,矛盾，四位以上的自然数也不可能。若是两位数ab,则16x(q+/?)>10a+/?=db,也不可能，故只有三位数dbc.16x(a+/?+c)=10()G+10b+c,化简得28d=2Z?+5c.由于2Z?+5cv7x9=63,所以a=l或b=2.a=l时，b=9,c=2,或b=4,c=4；a=2时，/?=8,c=8.所以所有自然数之和为192+144+288=624.【答案】所有满足

6、条件的自然数之和为624模块二、不定方程与应用题【例3】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶.问：大、小油桶各几个？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设有大油桶兀个，小油桶y个.由题意得：8x+5y=44可知张<44,所以兀=0、1、2、3、4、5.由于兀、y必须为整数，所以相应的将x的所有可能值代入方程，可得x=3时，这一组整数解.所以大油桶有3个，小油桶有4个.小结：这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.【答案】大油桶有3个，小油桶有4个【例4］在一次活动中，丁丁和冬冬到射

7、击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次•“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5,让冬冬把自己命中的次数乘以4,再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31,“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数.你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？【考点】列不定方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设丁丁和冬冬分别命中了兀次和y次，贝U：5x+4y=31.可见兀除以4的余数