借助几何直观 凸显意义建构

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1、借助几何直观凸显意义建构　　“点阵问题”是人教版小学数学四年级下“数学广角”例3的教学内容，安排在例1、例2植树问题之后。点阵问题的本质是关于一个封闭图形的植树问题，也就是栽树棵数正好等于间隔数的思想渗透。但在教学实践中，从植树问题入手，容易把问题复杂化，而且教材也没有给出唯一的解答方案，只是提供了一些思考的方法。　　那么，点阵问题的教学应凸显怎样的数学思想？这些基本思想的建构又该给学生提供怎样的教学支撑？显然光从问题的解答入手，几个算式很难让大部分学生感受其蕴含的数学思想，于是，笔者从学生探究问题的过程与策略入手，通过几

2、何直观来实现基本数学方法的意义建构，为今后的数学学习与发展打下扎实基础。　　一、联系生活，形成数学问题　　【教学片段一】　　师：同学们，去年我们宁波市实验小学举行了九十周年校庆活动，有很多同学都参加了这场隆重的校园嘉年华。在排练时，小演员们排成了各种队形（课件出示各种学生队形：三角形、四边形、五边形），为了看得更清楚些，我们用点子图表示。从图中你能得到哪些信息并提出怎样的数学问题？　　学生经过观察发现，提出了“每边有7人，排成各种队形分别需要多少人”的数学问题。于是我们从最简单的三边形入手进行研究。7　　（设计意图：数学问

3、题的教学应经历一个问题形成的过程，因此在教学点阵问题的一开始，就创设了一个学生非常熟悉的生活情境，并从中抽象出数学问题，实现了“从头到尾”的问题思考过程。并从简单的三边形入手进行研究，从易到难，且有利于突出解决点阵问题的基本方法。）　　二、图式结合，探究解决方法　　【教学片段二】　　师：先想一想解决这个问题的思路，然后借助图在上面圈一圈，再根据圈的情况列出算式，并向同桌说一说你的想法。　　（设计意图：对于点阵问题，学生或多或少已经有所接触，因此让学生自己试着圈一圈，并根据圈的方法列出算式，能够把学生的思维外显，体现图式结合

4、的思想。）　　1.在黑板上呈现生1的作品。　　师：哪些同学和他圈得一样？　　师：根据这样的圈法你能列出算式吗？　　生：我的算式是7×3-3。　　师：为什么要减去3？　　生：因为这个三角形有3个顶点，每个顶点都计算了两次，所以要减去一次的3个顶点。　　师：请你在图上指出重复的3个顶点。　　教师便根据学生的回答把图上3个顶点的位置变成另外的颜色，并指着黑板的图小结：每边7人，这是1个7、2个7、3个7。3个顶点上的3个人重复计算，所以要减3。7　　2.你有什么不同的想法？　　师：他圈的和刚才有什么不一样？　　生：他把6个人圈成

5、一组，一共圈成3组。　　师：这样圈有什么好处？　　生：我觉得他这样圈的好处是不用把重复的顶点减掉，很简便。　　师：根据这样的圈法，算式又是怎样的呢？　　生：（7-1）×3。　　师：顶点上的这个人，既属于这条边也属于那条边，我们让他只算在一条边上，这样就避免了重复计算。你们都明白了吗？那就让我们都闭起眼睛，想一想这种方法的图式，再想一想算式。　　3.教师展示了另一位学生的图，问：你觉得他跟前面两位同学想得一样吗？　　生：我把5个人看成一组，这样圈成三组，还有3个顶点没有计算过所以还要再加3。　　师：为了避免重复，我们先把顶点

6、上的3颗不看，算（7-2）×3，再加3。　　（设计意图：在反馈过程中，教师没有联系植树问题的间隔数、棵数等术语，而是始终围绕了“你是怎样圈的”“根据这样圈算式该怎样列”这两个中心问题而展开，这样就有机地把学生的思维与外部的图式结合起来，促进方法的意义建构。）7　　师：同学们排成三边形队伍，每边7人，一共需要18人。刚才通过圈一圈、算一算的方式帮我们解决了这个问题。请你观察几种方法，你觉得解决这类问题的关键是什么？　　生：我觉得三角形的关键是三个重复的点。　　师：第一种方法把重复计数的部分减去，而其他两种都是先避免了重复计数

7、的情况，然后再进行计算。所以我们在解决这类问题的时候，首先要考虑哪些是会重复计数的，再选择合适的方法进行计算。　　（设计意图：适当的提炼和总结，让学生对刚刚获得的基本方法进行了回顾和整理，并结合图式梳理出解决问题的一般方法。）　　三、横向探究，形成数学模型　　【教学片段三】　　1.自主探索解决四边形、五边形队形问题。　　师：那排成四边形和五边形，每边7人，分别需要多少人？你会解决吗？请你选择一种队形画一画、想一想，能想出几种不同的方法解决问题？　　教师根据学生呈现的作业提问：所画的图和算式表达的意思一样吗？　　为什么要减4

8、（或5）？它们分别表示什么？　　2.合作探究，引导、发现、建模。　　观察下图：　　师：刚才同学们解决了四边形、五边形队伍的问题，想出了很多方法，现在我们需要对填好的表格进行进一步的观察和比较，同桌讨论，你们有什么发现？　　生：我发现四边形的第四种方法只适合用于偶数边的队形，不适用于三边形和五边形。　　生