隐函数与参数方程确定的函数的导数

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1、第四节高阶导数教学目的：使学生掌握高阶导数的运算法则，熟记一些常见函数的高阶导数公式；教学重点：高阶导数的求法。教学过程：一、复习一阶导数的定义二、讲解新课：（一）高阶导数的定义：前面讲过，若质点的运动方程，则物体的运动速度为，或，而加速度是速度对时间的变化率，即是速度对时间的导数：或，由上可见，加速度是的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：定义：若函数的导函数在点可导，就称在点的导数为函数在点处的二阶导数，记为，即，此时，也称函数在点处二阶可导。注1：若在区间上的每一点都二次可导，则称在区间上二次可导，并称为在上的二阶导函数，简称二阶导数；2：仿上定

2、义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可定义四阶导数，一般地，可由阶导数定义阶导数；3：二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：，，或与或；4：开始所述的加速度就是对的二阶导数，依上记法，可记或；5：未必任何函数所有高阶都存在；6：由定义不难知道，对，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，阶导数的导数为阶导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。【例1】，求。解：。【例2】，求各阶导数。解：，，，，显然易见，对任何，有，即。【例3】，求各

3、阶导数。解：……一般地，有，即。同样可求得。【例4】，求各阶导数。解：，，，，，……一般地，有即。【例5】，为任意常数，求各阶导数。解：，，，，一般地，即。当为正整数时，a)时，；时，；时，；(ii)当为正整数时，必存在一自然数，使得当，在处不存在。如：然而，在处是无意义，即说明在处无导数，或在处不存在。【例6】，求。解：，，。（二）高阶导数的运算法则(1)，(2)，……，+。其中。Leibinz公式【例7】上例中，求。解：====。【例8】验证满足关系式：（其中为任意常数）。解：所以。【例9】验证满足关系式：。解：又所以。课堂练习：1．求（n为正整数）的n阶导数，n+1阶导

4、数，并求，；2．求的n阶导数；3．证明函数满足关系式；4．设f二阶可导，求或的一阶、二阶导数；5．设f二阶可导，求的二阶导数。