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《隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数，称为显函数。例如,可确定显函数可确定y是x的函数,对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:（隐函数的显化）将y看做中间变量，运用复合函数求导法则在方程两边直接对x求导。隐函数求导方法:两边对x求导(注意y=y(x))(含导数的方程)例1方程y=xlny确定了函数y=y(x),求y.解方程两边同时对x求导,得例2设si
2、n(xy)-ln(x+y)=0确定了函数y=y(x),求y.解方程两边同时对x求导,把y看成x的函数有解方程两边同时对x求导,把y看成x的函数有例3设确定了函数y=y(x),求再由原方程知时，代入上式，得例4方程x2+xy+y2=4确定了y是x的函数求曲线上点(2,2)处的切线方程.解方程两边同时对x求导,得于是,点(2,2)处的切线方程为即x–y–4=0.2x+y+xy+2yy=0,y(2)=1(x2),例5求由方程函数y的二阶导数y.所确定的隐解由隐函数求导法,得上式两边再同时对x求导,得例
3、6设y=y(x)由方程所确定,求y.解方程变形为两边同时对x求导,得上式两边再同时对x求导,得对于有些函数,使用对数求导法求导要比通常的方法简便.所谓对数求导法就是先在y=f(x),的两边取对数,然后再用隐函数求导法求出y的导数.二、对数求导法观察函数对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数求导。例6y=xx(x>0),求y.解两边取对数,得lny=xlnx.上式两边同时对x求导,把y看成x的函数,得,于是y=y(1+lnx)=xx(1+lnx).上述方法实际上是对幂指函数求导的一般方法,也可以按下列方法书写,
4、y=xx=exlnx,于是y=exlnx(xlnx)=xx(lnx+1).例7设解显然函数是幂指函数，可采用对数求导法。为此先将方程两边取对数得上式两边同时对x求导,把y看成x的函数,得例8设x>1,x2,3,4,解如果直接利用复合函数的求导公式求这个函数的导数,将是很复杂的.为此先将方程两边取对数得上式两边同时对x求导,把y看成x的函数,得例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?三、由参数方程确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得事实上，求解：例1设求在处的切线方程。解：切线方程：例2已知摆
5、线方程已知注意:例3.设求则有解解：求例4设内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除，乘方，开方表示的函数3.参数方程求导法作业P911（1）（3）；2（2）；3（1）（4）；4（1）（4）例5.设,且求解:一般地,在直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变量t的函数---------(1)并且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间的变数t叫做参变数，简称为参
6、数.三、由参数方程确定的函数的导数时,有求已知1、隐函数前面我们遇到的函数表达式是，给出自变量x的值时直接由一个公式求得因变量y的值。这种方式表达的函数叫做显函数。如，但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一个方程F(x,y)=0表示的函数，这种函数称为隐函数。如，一、隐函数的导数一般的，如果变量x和y满足方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x在某区间内任取一值时，相应的总有满足该方程的唯一的y值存在，那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程当自变量x在[-1,1]内取值时，变量y有确
7、定的值与之对应；如果限定y>0，则当x=0时，y=1.从方程中把因变量y解出来化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。例如，在上半平面内(y>0)从方程解出就把隐函数化成显函数。但并不是所有的隐函数都能被显化，如由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x,y)=0确定一个函数y=f(x)就是将此函数代入方程，则方程F(x,y)=F(x,f(x))≡0成为恒等式。例如，将函数代入方程就得到x的恒等式也就是说，当方程中的y被看作隐函数时，方程就成为x的恒等式。关于y的表达式部分就看做是自变量为x的复合函数形式。2、隐函数的
8、导数对于容易显化的隐函数，在求其导数时可以显化后再求导.对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？例如sin(xy)-ln(x+y)=0确定了y是x的函数，求隐函数求导方法:将y看做中间变量，运用复合函数求导法则在方程两边直接对x求导。例3.设求则有求解：例4设
