高考数学专的题目二十直线与圆

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1、专题二十　　直线与圆　　一、知识网络二、高考考点　　1.直线的倾斜与斜率；　　2.直线的方程及其应用；　　3.两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式；　　4.简单的线性规划问题；　　5.圆的方程及其应用；　　6.直线与圆的相切与相交问题；　　7.两圆的位置关系；　　8.直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题.　　三、知识要点　　（一）直线　　1、直线的倾斜角定义与规定　　（1）定义：对于一条与x轴相交的直线，将x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作 .　　（2

2、）规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.　　综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角 的取值范围是[0°，180°）或[0，π）.　　提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.　　（3）直线的斜率与方向向量 　　（Ⅰ）　　定义1：当直线l的倾斜角 不是90°时， 的正切叫做直线l的斜率，直线的斜率通常用k表示即： 　　  　　特例：当直线

3、的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在.　　认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：　　 ； ；　　 ；　　　 （直线的斜率不存在）　　（Ⅱ）斜率公式　　已知直线l上两点 ，则直线l的斜率：  .　　（Ⅲ）　　定义2：直线l上的向量 与平行于l的向量都称为直线l的方向向量.　　设 ，则直线l的方向向量 的坐标是 ；当直线l不与x轴垂直时， ，此时，直线l的方向向量可化为 （这里k为直线l的斜率）.　　2、直线的方程　　（1）理论基础：直线的方程与方程的直线之定义　　在直角坐标系中，如果直线l和二元方程 的实数解

4、之间建立了如下关系： 　　①直线l上的点的坐标都是方程 的解（纯粹性）　　②以方程 的解为坐标的点都在直线l上（完备性）　　那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.　　（2）直线方程的几种形式　　（Ⅰ）点斜式：　　已知直线l的斜率为k，且过点 ，则直线l的方程为：　　 　　（Ⅱ）斜截式　　已知直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则直线l的方程为：　　 　　注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例.直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x轴垂直的直线的方

5、程.因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。　　（Ⅲ）两点式　　已知直线l经过两点 ，则直线l的方程为：　　 .　　（Ⅳ）截距式　　已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为 ，则直线l的方程为：　　 　　注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线.运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线.　　（Ⅴ）一般式　　方程 

6、叫做直线方程的一般式　　直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿.直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x,y的一次方程，反之，任何关于x,y的一次方程都表示一条直线.这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一.　　3、两条直线的位置关系　　（1）两条直线平行的条件　　设l1、l2 为两条不重合的直线，则　　（Ⅰ） 的斜率相等或它们的斜率都不存在.　　因此，已知l1//l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论.　　（Ⅱ

7、）若设直线 　　  ，则　　 　　（此式包含了一般与特殊两种情形）　　（Ⅲ）平行于直线 的直线（系）方程为：　　 　　（2）两条直线垂直的条件　　　对于两条直线l1和l2　　（Ⅰ） 的斜率之积等于－1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在　　（Ⅱ）若设直线l1： ,  ,　　则 ，（此式包含了一般与特殊两种情况）　　（Ⅲ）垂直于直线 的直线（系）方程为：　　 　　（3）直线l1 到l2的角；直线l1 与l2的夹角　　设l1 与l2相交　（Ⅰ）直线l1 到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合

8、时所转动的角，通常记作 　　①l1 到l2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1 //l2时不定义l1 到l2的角，故 的取值范围为（0， ）　　②设l1 与l2的斜率分别为k1,k2,l1 到l2的角为 ，则　　当 ；　　当 （注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）　　（Ⅱ）直线l1 与l2的夹角，是指l1 与l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为 .　　①l1 与l2的夹角没有方向