空间向量及其坐标运算(b

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1、9.7空间向量及其坐标运算（B）●知识梳理1.若=xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量的坐标，也叫点P的坐标.2.设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），那么a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2），a·b=x1x2+y1y2+z1z2，cos〈a，b〉=.3.设M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2），则

2、M1M2

3、=.4.对非零向量a与b，有a∥ba=kb；a⊥ba·b=0.●点击双基1.若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则A.x=1，y=1B.x

4、=，y=－C.x=，y=－D.x=－，y=解析：∵a=（2x，1，3）与b=（1，－2y，9）共线，故有==.∴x=，y=－.应选C.答案：C2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）A.3B.2C.1D.0解析：P关于x轴的对称点为P1（x，－y，－z），关于yOz平面的对称点为P2（－x，y

5、，z），关于y轴的对称点为P3（－x，y，－z）.故①②③错误.答案：C3.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是A.1B.C.D.解析：ka+b=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2a－b=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）.∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0.∴k=.答案：D4.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________.解析：=（－2，－1，3），=（－

6、1，3，－2），cos〈，〉===－，∴θ=〈，〉=120°.答案：120°5.已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则

7、

8、的值是__________.解析：设点P（x，y，z），则由=2，得（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），即则

9、

10、==.答案：●典例剖析【例1】已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量.即∴n=（，－1，1），单位法向量n0=±=±（，－，）.解：设面ABC的法向量n=（x，y，1），则n⊥且n⊥，即n·=0，且n·=0，即2

11、x+2y+1=0，4x+5y+3=0，特别提示一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.【例2】在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.（1）求证：SC⊥BC；（2）求SC与AB所成角的余弦值.解法一：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，，0

12、）、S（0，0，2）、C（2，，0），=（2，，－2），=（－2，，0）.（1）∵·=0，∴SC⊥BC.（2）设SC与AB所成的角为α，∵=（0，，0），·=4，

13、

14、

15、

16、=4，∴cosα=，即为所求.解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC.（2）如下图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角.∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所

17、求.特别提示本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法.题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形.【例3】如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos〈，〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M.（1）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），∴｜｜==.（2）解：A1（1，0，2），B（0，1

18、，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），∴=（1，－1，2），=（0，1，2），·=3，｜｜=，｜｜=.∴cos〈，〉==.（3）证明：C1（0，0，2），M（，，2），=（－1，1，－2），=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C1M.深化拓展根据本题条件，还可以求直线AC1与平面A1