高考总复习空间向量及其坐标运算(B)[1].doc

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1、个人收集整理勿做商业用途9.7空间向量及其坐标运算（B)巩固·夯实基础一、自主梳理1。设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果=xi+yj+zk,则(x,y,z）叫做向量的坐标，也叫做点P的坐标.2.设a=(x1，y1，z1），b=(x2,y2,z2)，那么a±b=（x1±x2,y1±y2,z1±z2),a·b=x1x1+y1y2+z1z2，cos〈a,b>=.λa=(λx1，λy1,λz1)，a∥bx1=λx2，y1=λy2，z1=λz2(b≠0），a⊥bx1x2+y1y2+z1z2=0.3.设M1(

2、x1,y1，z1)、M2（x2，y2，z2),则｜M1M2

3、=.二、点击双基1.若a=（2x,1，3),b=(1，—2y,9），如果a与b为共线向量，则（）A。x=1，y=1B。x=,y=-C.x=，y=-D。x=-，y=解析:∵a=(2x,1，3)与b=（1,-2y，9)共线,故有==。∴x=，y=—.应选C。答案:C2。已知向量a＝（1,1，0），b＝（-1，0，2），且ka＋b与2a—b互相垂直，则ｋ值是（）A.1B.C.D.解析：ｋa+b＝ｋ(1，1，0）＋（—1，0，2）＝(ｋ—1，ｋ，2)

4、，2a—b＝2（1，1，0)-（-1，0，2)＝(3，2，-2)。∵两向量垂直，∴3(ｋ—1）＋2ｋ—2×2＝0。∴ｋ＝。答案：D3.已知点A（—3，—1,-4)关于原点的对称点为A1,点A在xOy平面上的射影为A2,则在y轴正方向上的投影为(）A。2B.—1C.1D.-2解析：A1的坐标为（3，1,4）,A2的坐标为(-3，0，—4).=（—6，—1,—8),y轴正方向上的单位向量e=（0,1,0)，个人收集整理勿做商业用途∴投影=·e=-1.答案:B4.已知空间三点A（1，1，1）、B(-1，0，

5、4）、C(2,-2，3），则与的夹角θ的大小是_________。解析：=（—2，—1,3)，=（-1,3，—2）,cos〈，>===—，∴θ=<，〉=120°.答案:120°5。已知点A(1，2，1)、B(-1,3，4）、D(1，1，1)，若=2，则｜｜的值是_________________。解析:设点P(x，y,z），则由=2,得(x-1，y-2，z—1）=2(-1—x,3-y，4-z）,即解得则｜｜==.答案：诱思·实例点拨个人收集整理勿做商业用途【例1】已知=（2，2,1），=（4，5,3)

6、,求平面ABC的单位法向量。解:设面ABC的法向量n=（x，y,1），则n⊥且n⊥，即n·=0,且n·=0,即即∴n=（,-1，1)，单位法向量n0=±=±（，—,）。链接·提示一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度,可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解。【例2】在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2,BC=，SB=.（1)求证:SC⊥

7、BC;(2)求SC与AB所成角的余弦值.解：如右图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B(0,，0)、S（0,0，2）、C（2，,0）,=(2,,—23），=（-2，,0)。（1)∵·=0，∴SC⊥CB.（2）设SC与AB所成的角为α,个人收集整理勿做商业用途∵=(0,,0），·=4，

8、

9、

10、｜=4，∴cosα=，即为所求。个人收集整理勿做商业用途【例3】如图,在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=

11、BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1）写出点E、F的坐标；(2）求证:⊥;（3）若A1、E、F、C1四点共面,求证：=+.剖析:(1）从E、F点向x、y轴作垂线;（2)证·=0;（3)利用共面向量定理建立向量关系式,进一步获得数量关系式(坐标之间的关系)。（1）解：E（a,x,0），F（a—x，a，0）.（2)证明：∵A1(a，0,a)、C1(0，a,a),∴=（—x,a,-a),=（a，x—a，—a）.∴·=-ax+a（x—a）+a2=0.∴⊥。（3)证明:∵A1、

12、E、F、C1四点共面，∴、、共面。视与为一组基向量，则存在唯一实数对λ1、λ2,使=λ1+λ2，即(-x，a，-a）=λ1(-a，a,0)+λ2(0,x，—a)=（—aλ1，aλ1+xλ2,-aλ2)，解得λ1=，λ2=1.于是=+。讲评:对于存在“墙拐”的图形建系是十分轻松的,但要会求点的坐标,否则向量方法有如空中楼阁。【例4】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠个人收集整理勿做商业用途ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2，BB1=3,D