矩阵的微分与积分

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1、§3.矩阵的微分与积分一、矩阵的微分1.Def1.若，且可导。则称A(x)可导，记为的为A(x)导数。2.性质：①②注意：的位置不可变换，特别地③（这里是可微函数）④若A(x)与均可导（m=n方阵）则Proof:④由注：性质④不同于反函数的导数，另：事实上eg1.求的导数，及的导数解：第9页共9页eg2.设求，解：Df2.设为可微函数，为变向量，称为函数对X的导数，记作：（注：这事实上是多元函数的梯度，即）Df3.设,且是的可微函数，则称为矩阵Z对矩阵X的导数，记为。eg3.设第9页共9页其中是的可微函数，求解：eg4.设

2、求eg5.设求解：一、矩阵的积分1.Df4..设函数矩阵，若在[a,b]上可积，称为在[a,b]上的定积分，记为。称为的不定积分，记为。2.性质：①（为非0常数）②③（B为常数矩阵）④第9页共9页eg6.设求解：eg7.设求解：eg8.设求解：1.直接利用定义：2.利用变上限定积分是上限函数的求导公式：§4.矩阵的幂级数在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。一、矩阵级数1.Df1.：若给定中的一方阵序列，则和式称为方阵级数，记为。其中为通项，m—求和变量。称为（1）的前N项部分和序列（矩阵序列）若，则称（1

3、）收敛，且其和为S第9页共9页Df2.表示的第i行第j列位置上的元素。显然，收敛个数项级数收敛。Df3.若个数项级数绝对收敛，则称绝对收敛。Df4.设，称为矩阵A的幂级数，其中为一复数序列，称为幂级数的部分和，若，称收敛于S，并称S为幂级数的和矩阵。2.收敛方阵级数的性质：①若方阵级数绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。②方阵级数收敛对任一方阵范数，正项级数收敛（证明见）。下面研究矩阵（方阵）幂级数一、矩阵幂级数注：令，则矩阵幂级数矩阵级数的形式。因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是

4、适用的。即：Th1.矩阵幂级数收敛于其中，,分别表示和的第i行，第j列元素。Th2.矩阵幂级数绝对收敛对任一范数，级数收敛。Proof:若收敛，考虑的敛散性，由矩阵范数的等价性，与等价，即使（由比较审敛法）第9页共9页收敛。又收敛，因此，绝对收敛。若绝对收敛收敛收敛，即收敛。由矩阵范数的等价性对任一矩阵范数，使，有收敛。推论1.若绝对收敛（收敛），则绝对收敛（收敛）其中P,Q为给定的n阶方阵，且有Proof：绝对收敛绝对收敛。又由比较审敛法，绝对收敛。下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法：Th3.设复变数幂级数的收敛半径

5、为R，A的谱半径为，则：①当时，绝对收敛。第9页共9页②当时，发散。Proof：①若，（如取）收敛存在矩阵,②若，设，其中x为单位向量若收敛，则由推论1.知：也收敛，但在收敛域之外而发散，矛盾，故，发散。应该注意：时，无法确定。推论2.若的收敛半径，则对，绝对收敛，即复变数幂级数在整个复平面上收敛。eg1.的收敛半径，对,有，故且绝对收敛。eg2.设，试证明绝对收敛。Proof：的收敛半径。则只要证即可。第9页共9页对任意的矩阵范数，都相互等价，不妨取，有：由Th3，绝对收敛。eg3.若，证明：Proof:即（由上节Th5

6、.,）eg4.设①试判断的敛散性②试证明：绝对收敛。解：①,设的收敛半径为R。可见，故发散。②的收敛半径第9页共9页故绝对收敛。象幂级数一样，有时还会遇到如的幂级数，对于它的敛散性，可用下列定理判别。Th4.若的收敛半径为R，对其特征值为，若满足。则绝对收敛；若有某一使，则发散。第9页共9页