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1、[学习目标]1.会用Mathematica求函数的极限；2.会利用Mathematica求函数的导数与微分；3.会用Mathematica求不定积分和定积分；4.能用Mathematica进行多重积分和数值积分计算。当今，每一个理工、经济等专业的人学生都必须学会微积分的基本计算，Mathematica也能完成那些工作。今后，只需学握微积分的基本概念和理论，一切让算都留给计算机去做。木节通过大量实例深入展现Mathematica的微积分计算能力，读者学习后一定会更加喜爱这个软件。一、求极限1•使用内部函数求极限函数Limit可用于求一元函数的极限：Limitff,x-^xo]求函数f(x)
2、当吋的极限。(4)limtgxo2例1求极限：(1)lim'n",(2)limCOSn,(3)limtgx,xtosin5兀八虫nx^--o2解：In[l]：=Limit[Sin[3x]/Sin[5x],x->0]Out[l]=-5In[2]：=Limit[Cos[n]/n,n-*00]Out[2]=0In[3]：=Limit[Tan[x],x~*〃/2,Direction-*1]Out[3]=00In[4]：=Limit[Tan[x],乃/2,Direction-*-1]Out[3]=-°°说明：其屮In[3]和In[4]是求单侧极限，第三个参数Direction—1表示沿坐标轴正方向
3、趋向于xo，也就是左极限；Direction—-1表示沿坐标轴负方向趋向于兀o，也就是右极限。应当注意Mathematica没有区分00和-0°,求x->°°时的极限要小心！2.调用外部函数求极限Mathematica口带的外部程序中还有求极限的同名函数，增强了解题能力。文件位于Mathematica的标准扩展程序包集中,查看Help可以找到相应文件。/1丫21+-例2求极限：lim-——o川一>00pn(12・Out[2]=Limit1+丄,HTooIn[2]:=«Calculus'Limit、In[3]:=Limit[(1+1/n)A(nA2)/Exp[n],Out[3]=说明：
4、首先使用内部函数求一个较复杂的极限，结果输出的就是原输入式，凡是遇到这种情况，则表明Mathematica求值失败。在调入含冇同名函数的外部程序文件后，求解成功。这个外部程序文件是Limit.m,位于了目录：D：Mathematica4.0AddOnsStandardPackagesCalculus尽管Limit语句求极限简单方便，但在冇些情况下求不出极限，可以画出函数的图像，观察函数的变化趋势，从而判断出函数的极限。二、求导数1.求导数或偏导数Mathematica的求导功能很强，令人喜爱。求一元函数的导数与求多元函数的偏导数，都使用同样的Mathematica函数。常用的
5、函数是：D[f,var]求函数/对口变量vai•的偏导数。D
6、f,Xl，X2，…]求函数/对自变量兀1，兀2，…的混合偏导数。D[f,{X],nJ,{X2,n2),…]求函数于对自变量兀1，兀2,…的"］，斤2，…阶混合偏导数。例3观察求下面函数偏导数的运算。In[l]：=D[xA2Sin[x+y],x]Out[l]=x2Cosfx+y]+2xSinfx+y]In[2]:=5X(xA2Sin[x+y])Out[2]=x2Cos[x+y]+2xSin[x+y]In[3]：=u=xA(z/y)；D[u,y,x]Xyz~Logx-i+-Y•'7Out[4]=——Fy~-1+-Out[5]=
7、——$y-i+-Xyz2Log[x]Out[6]=xyLOg[x]2说明：在上例的In[2]和In[5]中使用了基本输入模板中提供的偏导数符号，这与用D函数的效果相同。在In[2]中将被求导的函数用括号括起来是必要的，否则Mathematica认为求—(x2)-sin(x+y)。dxMathematica求导的优点在于能求抽象的复合函数的导数。例4观察下面求多元复合函数导数的运算。In[l]：=axf[xA2]Out[l]=2xf,[x2]In[2]：=Qx,yf[x,x/y]Out[2]=-严)XX厂严Xx,-V(IU)X兀厂y」LyjL23。In⑶:=ax,xf[Sin[x],Cos
8、[y],Exp[x+刃]Out[3]=ex+yf<0A1)[Sin[x],Cos[y],ex+y]-Sin[x]t<1A0)[Sin[x],Cos[y],ex+y]+尹丫©+丫*°，°，2)011冈,Cos
9、y],ex+y
10、+Cos[x]Nm)[Sin[x],Cos[y],ex+y])+Cos[x](ex+>7，AI)[Sin[x],Cos[y],ex+y]+Cos[x]^0?0)[Sin[x],Cos[y],ex+y])说明：上例
