第七讲矩阵的微分与积分.pdf

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1、第七讲矩阵微分与积分一、函数矩阵的微分和积分1.函数矩阵导数定义：若函数矩阵At()(aij())tmn的每一个元素atij()是变量t的可微函数，则称dAt()dat()A(t)可微，其导数定义为ij.At()()mndtdt注：类似可以定义高阶导数，又可以定义偏导数。sintcostt例1求函数矩阵tt2的导数。At()2et301t2.导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则（1）d[()()]dAdBddAdBddadAAtBt；（2）[()()]AtBtBA；（3）[()()]tAtA；dtdt

2、dtdtdtdtdtdtdtd11dA1（4）[A()]tAA（当A(t)可微时）；dtdt（5）dtAtAtAddeAeeA,costA-sinAtA,sintAAcostA(A与t无关)；dtdtdtdtAtAtA证（5）()eAeeA.dtddtA1221332123AItA()1tA22AetA(e)(ItAtAtA)AtAtA;dtdt2!3!2!2!又ddtA1221332123122tA(e)(ItAtAtA)AtAtA()ItAtAAeA.dtdt2!3!2!

3、2!3.函数矩阵积分定义：若矩阵At()(aij())tmn的每个元素atij()都是区间[,]tt01上的可积函数，则称A(f(X)ft)在区间[,]tt上可积，并定义A(t)在[,]tt上的积分为tt11.0101Atdt()atdt()ttij00mnt1t1t14.积分性质（1）[()AtBt()]dt=±Atdt()Btdt()；t0t0t0（2）t1AtBdt()=t1Atdt()BA,t1ABtdt()=t1Btdt()；t0t0t0t0dt（3）Asds()At()（当A(t)在[a,b]连续时，

4、对t[,]ab）；dtab（4）Atdt'()Ab()-()Aa（当A(t)在[a,b]连续可微时）.a二、数量函数对矩阵变量的导数1.定义：设f(X)是以矩阵Xx()为自变量的mn元函数，且f(i1,2,,;mj1,2,n)都存在，规ijmnxijffxxT定f对矩阵变量X的导数为111n，特别地，x[,,xx,x]时，数量函数f(x)dff12n()mndXxijffxxm1mn1对向量变量x的导数为dffffT（即函数f(x)的梯度向量，记为gradf）(,,,)dxxxx12n例

5、2(1)设常向量[,aa,,a]T，向量变量x[,,xx,x]T且fx()TTxx，求df;12n12ndx(2)设常矩阵Aa()，矩阵变量Xx()且fX()trAX()，求df;ijmnijmndX(3)设常矩阵()x[,,xx,x]T且fx()xAxT,求df.（P77）Aaijmn，向量变量12ndx例3已知矩阵变量Xx()，且detX0,证明ddetX()detXX)(1T.(P77)ijmndX三、矩阵分析应用1、（1）一阶线性齐次常系数常微分方程组dxt1()axt()axt()axt()设有一阶线性齐次常系数常微分

6、方程组dt1111221nndxt()2axt()axt()axt()2112222nndtdxtn()axt()axt()axt()dtn11n22nnnT式中t是自变量,xtii()(1,2,,)n是t的一元函数,aijij(,1,2,,)n是常系数.令xt()[(),(),xtxt12,xtn()]，dx()txt()e(-)tt0Axt()Aa[]ijn，则原方程组变为矩阵方程Axt()，其解为0dttAtAdxt()tA特别地，t＝0时xt()ex(0)ec.对该解求导,可验证AecAxt()，dt0Axt()e

7、cIccx(0),表明x(t)确为方程的解，积分常数亦正确.dx1x例求解微分方程组dt2，初始条件为xr11(0)xr(0)dx222-x1dt解上讲已求得tAcosttsin，故xt()tAcosttsinrrcostrsint.ext()1ex(0)112-sinttcosxt2()-sinttcosr2r2cos-sintr1t（2）、一阶线性