小波算子矩阵法求分数阶积分与微分近似值.pdf

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1、第32卷第2期辽宁工程技术大学学报（自然科学版）2013年2月Vol.32No.2JournalofLiaoningTechnicalUniversity（NaturalScience）Feb.2013文章编号：1008-0562(2013)02-0285-04小波算子矩阵法求分数阶积分与微分近似值彭超，宋向东，仪明旭，魏金侠（燕山大学理学院，河北秦皇岛066004）摘要：计算一类函数分数阶积分及其Caputo分数阶微分的问题.采用Haar小波和算子矩阵相结合的方法，得到一种Haar小波分数阶积分算子矩阵，利用

2、该算子矩阵，对给定函数做了有效的离散，充分结合Haar小波矩阵的正交性、稀疏性，将求分数阶微积分问题转化为算子矩阵的乘积，从而便于计算机求解.平稳信号和非平稳信号的数值算例验证了该方法的可行性和有效性.关键词：Haar小波；算子矩阵；整数阶积分；分数阶积分；Caputo分数阶微分；近似值；平稳信号；非平稳信号中图分类号：O175.2文献标志码：AWaveletoperationalmatrixmethodforsolvingapproximationsoffractionalintegralsandfracti

3、onalderivativesPENGChao,SONGXiangdong,YIMingxu,WEIJinxia（CollegeofSciences,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China）Abstract:Inthispaper,HaarwaveletoperationalmatrixoffractionalorderintegrationisgivenbycombiningHaarwaveletwithoperationalmatrix.Theoperationa

4、lmatrixoffractionalorderintegrationisutilizedtocalculatefractionalintegralsandCaputofractionalderivativesofaclassoffunctions.Theauthorstransformtheproblemofsolvingfractionalintegralsandderivativesintothemultiplicationoftheoperationalmatrix,thereforethecomput

5、ationbecomesconvenient.Finallythenumericalexamplesshowthatthemethodpresentedinthispaperisfeasibleandeffective.Keywords:Haarwavelet;operationalmatrix;integerintegral;fractionalintegrals;Caputofractionalderivatives;approximations;stationarysignal;non-stationar

6、ysignal0引言下定义的微积分运算，而分数阶微积分的运算，顾名思义，就是将通常意义下的整数阶微积分运算推小波分析是近些年来出现的一种新型数学方广到运算阶数为分数的情形.这其中分数阶仅仅是法，它是调和分析近40年的一个突破性进展.它在一个统称，它不仅指有理分数，还包括阶次为无理保留傅里叶分析的优点同时，又弥补了傅里叶分析小数和复数的情况.当运算阶次为整数时，分数阶的一些不足之处，因而小波分析在理论分析和实际微积分运算就可以转化为整数阶微积分运算[3].分应用上得到了蓬勃的发展.它涉及面之广，发展之迅数阶微分方

7、程在许多科学和工程领域中得到了广[1]速，影响之深远都是空前的.原则上说，传统上用泛的应用[4].特别是在反常扩散、多孔介质力学、非到傅里叶分析的地方，都可以用小波分析来代替，牛顿流体力学、黏弹性力学等领域，分数阶导数的尤其是对于非平稳的信号处理，小波分析能更好的研究和应用都引起了广泛的重视.反映其频率特性，从而得到更好的结果，小波分析因此分数阶微积分的计算也极其重要，与整数优于傅里叶分析的地方是它在时域和频域同时具阶微积分相比，分数阶微积分只能根据定义来求给有良好的局部性质.从某种意义上讲，它被人们誉为定函数

8、的分数阶积分和导数.而对于形式非常复杂[2]“数字显微镜”.的函数，是很难甚至不能求出其分数阶积分和微分.分数阶微积分是一种关于整数阶微积分的自故长期以来许多学者致力于求函数分数阶积分和然推广.普通的微积分运算，如一阶微分、高阶微分、微分的近似值.近几年小波算子矩阵法得到了广泛一阶积分、高阶积分等都是在运算次数为整数情况的发展，特别对于求分数阶微分方程的数值解[5-6]，收稿日期：20