分数阶积分算子的谱半径及其应用

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1、分数阶积分算子的谱半径及其应用基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20134219120003）；国家自然科学基金（F030203）；湖北省自然科学基金重点项目（2013CFA131）；冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室基金（z201302）作者简介：冯育强（1975-），男，教授，主要研究方向：非线性泛函分析理论、方法与应用.E-mail:yqfeng6@126.com冯育强，朱兴，王蔚敏（武汉科技大学理学院，武汉430065）摘要：本文利用Gelfand公式和Stirling公式，计算了两种情形下分数阶积分算子谱半径。随后讨

2、论了该结论在分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式中的应用。关键词：二级学科；分数阶积分算子；谱半径；Gelfand公式；Stirling公式中图分类号：O175.08文献标识码：A文章编号：SpectralradiusoffractionalintegraloperatorsanditsapplicationsFENGYuqiang,ZHUXing,WANGWeimin(CollegeofScience,WuhanUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430065,China)Abst

3、ract:Inthispaper,GelfandformulaandStirlingformulaareusedtocalculatethefractionalintegralspectralradiusintwocases.ThentheconclusionisappliedtodiscussthesolvabilityoffractionaldifferentialequationsandfractionalGronwallInequality.Keywords:fractionalintegraloperators;spectra

4、lradius;Gelfandformula;Stirlingformula0引言分数阶微积分是相对于传统意义上的整数阶微积分提出的，由于分数阶微积分良好的记忆和遗传性，分数阶微积分理论被广泛应用于自然科学的各个领域，尤其是控制理论、粘弹性理论、电子化学、分形理论等领域[1]。大量研究成果的面世也极大地推动了分数阶微积分的研究进展，一些学者纷纷投入到这个新兴的研究领域。在分数阶模型的使用中，出现了一系列分数阶微分积分方程，因此对分数阶积分算子的研究有着十分重要的意义。分数阶积分算子本质上是一类带奇异积分核的线性积分算子，对于其谱半径的计

5、算，有助于进行分数阶微分方程的定性研究。在以往的文献中，不论是证明分数积分方程可解性，有解性，解的渐近性质，还是推广Gronwall不等式，其实本质上都用到了分数阶积分算子谱半径的性质，但是没有明确地指出[1,3,6]。本文正是从研究的需要出发，具体计算出分数积分算子的谱半径，并将所得结论用于分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式。1预备知识本节给出文中所涉及的一些基本概念和结论。定义1[2]设是Banach空间，是的线性子空间到中的线性算子，又设是一复数，若是正则算子，即是到上的一对一的线性算子，且它的逆算子是到中的有界线

6、性算子时，称是的正则点，并称为的豫解算子，记为.不是正则点的复数，称为的谱点。复平面上正则点全体称为的正则集或豫解集，记为，谱点全体称为的谱集，记为.定义2[2]设是Banach空间，是到的有界线性算子，则称为算子的谱半径。引理1[2]设为复的Banach空间，，则1）极限存在且有（Gelfand公式）；2）当时，是的正则点，则是可逆的，并且.引理2（Stirling公式[3]）当时，.引理3[3]设为一常数，，则分数阶积分在上几乎处处存在。进一步，该变上限积分在上是可积的。定义3[4]设为一Banach空间，为中一个非空凸集，满足条件

7、1）2）(0表示的零元)，则称为中的锥。如果为中的锥，则可定义中的半序“”为定义4[4]设为中的锥，1）如果存在常数，满足，则称是正规的；2）如果，则称是再生的。2主要结论本节给出了计算分数阶积分算子谱半径的详细过程，分为两种情况进行讨论。定理1假设为一常数，定义从到的分数阶积分算子为，则.证明：由引理3可知，，易见为线性算子。以下分两个步骤证明.第一步：利用数学归纳法证明有下式成立：.（*）事实上，1）当时，由题设知（*）式显然成立；2）假设当时，（*）式仍然成立；3）当时，.这里令，并且利用Beta函数的性质可得下式成立：因此，当时

8、，（*）式依然成立，（*）式得证.第二步，证明.因为，所以.由Stirling公式可知.于是，利用Gelfand公式可得.因此，.定理2设为一常数，定义从到的分数阶积分算子为，则.证明：分两个步骤来证明结论