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《《数值分析与算法》第七讲数值积分与数值微分ppt课件.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数值分析(7)NumericalAnalysisWenjianYu2第七章数值积分与数值微分WenjianYu3数值积分的基本概念WenjianYu4数值积分目的与用途经典问题:算几何形体的面积、体积，力学中物体的重心位置例:铝制波纹瓦的长度问题由一块平整的铝板压制而成.若每个波纹的高度(自中心线)为1英寸,周期为2英寸,做4英尺长波纹瓦需多长铝板?第二类椭圆积分,无法解析求出!WenjianYu5数值积分基本思想...积分系数积分节点希望用较少的计算量得到较准确的结果WenjianYu6插值型求积公式中矩形公式梯形公式WenjianYu7积分余项与代数精度反映了计算的截断误差插
2、值余项的积分衡量求积公式准确度的另一个指标注意:对某些情况，代数精度并不是越高越好WenjianYu8积分余项与代数精度(至少0次代数精度)它至少有n次代数精度即插值型可推广WenjianYu9积分余项与代数精度WenjianYu10求积公式的收敛性与稳定性(一系列求积公式的性质)积分问题一般不太敏感WenjianYu11求积公式的收敛性与稳定性这是控制数值计算误差能达到的最佳情况要尽量寻求稳定的公式(估计截断误差)WenjianYu12牛顿-柯特斯公式WenjianYu13Newton-Cotes公式这就是n阶牛顿-柯特斯公式n=1,1/2,1/2n=2,1/6,2/3,1/6n
3、=4,7/90,16/45,2/15,16/45,7/90Cotes系数表一系列求积公式便于使用WenjianYu14Newton-Cotes公式n=1,1/2,1/2n=2,1/6,2/3,1/6n=4,7/90,16/45,2/15,16/45,7/90n=8,Cotes系数表思考题梯形公式Simpson公式Cotes公式中矩形公式可看成是n=0时的特例WenjianYu15Newton-Cotes公式(最准确)WenjianYu16Newton-Cotes公式关键看积分:(n阶公式至少有n次代数精度)一般不用n=3对应的N-C公式WenjianYu17低阶N-C公式的积分余项
4、不保号,无法用积分中值定理2详细过程看书pp.246WenjianYu18稳定性、收敛性n=8,实际只使用n<8的偶数阶N-C公式(代数精度不是越高越好)WenjianYu19复合求积公式WenjianYu20复合求积公式(compositequadrature)积分误差:n增大,误差减小仍是“机械求积公式”WenjianYu21复合求积公式2阶准确度WenjianYu22复合求积公式与复合梯形公式对比,看例7.4WenjianYu23复合求积公式步长折半的复合求积公式计算积分余项公式包含被积函数的高阶导数,很难应用.常常动态地确定步长h常用的动态减小步长策略是:步长折半,利用已算
5、出的结果复合梯形公式的情况递推化的复合梯形公式:(逐渐减小,直到满足精度要求)只需再计算新增节点的函数值WenjianYu24复合求积公式步长折半的复合求积公式计算复合Simpson公式的情况很少使用中矩形公式的原因与梯形公式有相同的代数精度/准确度,计算量更小可类似构造复合中矩形公式,但在步长折半时,无法重用以前的结果WenjianYu25Remberg积分算法WenjianYu26复合梯形公式的余项展开式Th7.5所有小区间的积分求和:WenjianYu27复合梯形公式的余项展开式Th7.5所有小区间乘h/2求和:WenjianYu28RichardsonExtrapolati
6、on(“0”代表未经外推的原始公式)更准确的值!WenjianYu29RichardsonExtrapolationWenjianYu30Romberg算法龙贝格算法列三角形表格,按行依次计算计算公式可证明:具有2k+1次代数精度(类似高阶差商的计算)WenjianYu31Romberg积分算法基于等距分布的积分节点,得到稳定、准确的积分结果要求被积函数充分光滑!WenjianYu32Romberg算法011/80.99739781/40.98961583/80.97672671/20.95885115/80.93615563/40.90885177/80.877192610.84
7、1471010.92073551/20.93979330.94614591/220.94451350.94608690.946083001/230.94608330WenjianYu33Romberg算法10.5000001/20.4267770.4023691/220.4070180.4004320.4003021/230.4018120.4000770.4000540.4000501/240.4004630.4000140.4000090.4000090.4000
