函数矩阵与矩阵微分方程

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1、5-3函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵定义：以实变量的函数为元素的矩阵称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。例：已知计算定义：设为一个阶函数矩阵，如果存在阶函数矩阵使得对于任何都有那么我们称在区间上是可逆的。称是的逆矩阵，一般记为例：已知，那么在区间上是可逆的，其逆为函数矩阵可逆的充分必要条件定理:n阶矩阵在区间上可逆的充分必要条件是在上处处不为零，并且，其中为矩阵的伴随矩阵。定义：区间上的型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为的秩。特别地

2、，设为区间上的阶矩阵函数，如果的秩为，则称一个满秩矩阵。注意：对于n阶函数矩阵而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。例：已知那么。于是在任何区间上的秩都是2。即是满秩的。但是在上是否可逆，完全依赖于的取值。当区间包含有原点时，在上有零点，从而是不可逆的。函数矩阵对纯量的导数和积分定义：如果的所有各元素在处有极限，即其中为固定常数。则称在处有极限，且记为其中如果的各元素在处连续，即则称在处连续，且记为其中容易验证下面的等式是成立的：设则定义：如果的所有各元素在点处(或在区间上)可导，便称此函数矩阵在

3、点处(或在区间上)可导，并且记为函数矩阵的导数运算有下列性质：是常数矩阵的充分必要条件是设均可导，则设是的纯量函数，是函数矩阵，与均可导，则特别地，当是常数时有(4)设均可导，且与是可乘的，则因为矩阵没有交换律，所以(5)如果与均可导，则(6)设为函数矩阵，是的纯量函数，与均可导，则定义：如果函数矩阵的所有各元素在上可积，则称在上可积，且函数矩阵的定积分具有如下性质：例1：已知函数矩阵试计算证明：由于，所以下面求。由伴随矩阵公式可得再求例2：已知函数矩阵试求例3：已知函数矩阵试求证明：同样可以求得例4：已知函数矩阵试计算函数向量的线性相关

4、性定义：设有定义在区间上的个连续的函数向量如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的等式成立，我们称，在上线性相关。否则就说线性无关。即如果只有在等式才成立，那么就说线性无关。定义：设是个定义在区间上的连续函数向量记以为元素的常数矩阵称为的Gram矩阵，称为Gram行列式。定理：定义在区间上的连续函数向量线性无关的充要条件是它的Gram矩阵为满秩矩阵。例：设则于是的Gram矩阵为所以故当时，在上是线性无关的。定义：设是个定义在区间上的有阶导数的函数向量，记那么称矩阵是的Wronski矩阵。其中分别是的一阶，二阶，…，阶导数矩阵。定理：设是

5、的Wronski矩阵。如果在区间上的某个点，常数矩阵的秩等于，则向量在上线性无关。例：设则因为的秩为2，所以与线性无关。小结：一、一元函数矩阵的微积分定义1设有函数矩阵。称矩阵可微，如果其每个元素都是可微函数，且微分为定义2设有函数矩阵。称矩阵的微分为满足下式的矩阵：联想到普通函数的微分也满足下式：定理3设和都是可微矩阵，则这里为可微矩阵。遗憾的是，链氏法则对矩阵值函数并不成立。例如对矩阵多项式函数显然上式中，要使法则成立，显然需要补充条件如此，对多项式函数，才能成立链式法则定义4设有函数矩阵。称矩阵二阶可微，如果其每个元素都是二阶可微函

6、数，且二阶微分为一般地，不难给出矩阵的高阶导数。定义5设有函数矩阵。称矩阵在上可积，如果其每个元素都在上可积，且积分为容易验证矩阵积分具有下列性质：这里为常量矩阵。定理6设和都在上可积，则定理7设在上连续，则成立微积分基本定理：定理8设在上连续，则成立牛顿-莱布尼兹公式：例9矩阵为任意常量方阵，证明例10已知(1)求矩阵;(2)求。注意到时，，因此解：（1）两边对求导，得解：（1）各元素分别对求定积分，得%ex603.msymst%函数矩阵SS=[sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-

7、sin(t)5*sin(2*t)+sin(t)];DS=diff(S,‘t‘)%调用内置函数diff求S对t的导数ans=[2*cos(2*t)+3*cos(t),10*cos(2*t)-cos(t)][6*cos(2*t)-cos(t),10*cos(2*t)+cos(t)]%ex603.m（续）symst%函数矩阵SS=[sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t)];symsab%声明符号变量a，bIS=int(S，‘t’，a,b)%调用内

8、置函数int对S从a到b求定积分IS=[(cos(a)-cos(b))*(cos(a)+cos(b)+3),(cos(a)-cos(b))*(5*cos(a)+5*cos(b)-1)][(co