矩阵级数与矩阵函数

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1、第七讲矩阵级数与矩阵函数 一、矩阵序列1.定义:设有矩阵序列,其中,且当时,则称收敛,并把叫做的极限,或称收敛于A.记为或不收敛的序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况.2.收敛矩阵序列的性质:设、分别收敛于A、B,则(1)(2)(3)，若，存在(4)3收敛矩阵:设A为方阵,且当时,则称A为收敛矩阵.[定理]方阵A为收敛矩阵的充要条件是A的所有特征值的模值均小于1.证明:对任何方阵A,均存在可逆矩阵P,使得其中J为A的Jordan标准形, 就等价于,等价于,而这只有才可能也必能.[得证] 二、矩阵级数1.定义:矩阵序列的无穷和叫做矩阵级数,而称为

2、其部分和,若矩阵序列收敛,且有极限S,则称该级数收敛,且有极限S.记为不收敛的级数必为发散的.若矩阵级数的所有元素均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛.2.绝对收敛矩阵的性质1.绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和.(2)绝对收敛,则也绝对收敛且等于(3),均绝对收敛,且和分别为，则三、方阵的幂级数A为方阵,，称为A的幂级数.称为A的Neumann级数.1.Neumann级数收敛的充要条件[定理]Neumann级数收敛的充要条件是A为收敛矩阵,且在收敛时其和为.证明:[必要性]级数收敛,其元素为显然也是收敛的.作为数项级数

3、,其通项趋于零是级数收敛的必要条件.故，即也就是说A为收敛矩阵.[充分性]:A为收敛矩阵,则其特征值的模值均小于1.设A的特征值为,的特征值为.则由可见故,的行列式不为零,存在.而右乘得当时,,故.所以即Neumann级数收敛于. 2.收敛圆[定理]若矩阵A的特征值全部落在幂级数的收敛圆内,则矩阵幂级数是绝对收敛的.反之,若A存在落在的收敛圆外的特征值,则是发散的.证明略.[推论]若幂级数在整个复平面上收敛,则对任何的方阵A,均收敛. 四、矩阵函数如:,sinA,cosA以矩阵为自变量的"函数"(实际上是"函矩阵")我们知道,均为整个复平面上收敛的级数

4、,故对任何的方阵A均绝对收敛.三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。 [性质]但是一般来说,,三者互不相等.例如,,则可见,,,所以,,[定理]若,则[证明]:同理,有[推论],总存在逆阵 五、矩阵函数的初步计算1.Hamilton-Cayley定理n阶矩阵A是其特征多项式的零点,即令则 [证明]:设A的特征值为,则又可写成由Schur引理知,存在酉矩阵U,使得相似矩阵具有相同的特征多项式所以即2.零化多项式多项式f(z),若f(A)=0,则称其为A的零化多项式。由以上定理可知，方阵A的特征多项式为A的零化多项式。3.矩阵指数函数、正弦

5、函数、余弦函数的计算例:已知四阶矩阵的特征值是、、0、0,求sinA、cosA、解:故