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《矩阵级数与矩阵函数(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第七讲矩阵级数与矩阵函数一、矩阵序列1.定义:设有矩阵序列,其中,且当时,则称收敛,并把叫做的极限,或称收敛于,记为或不收敛的级数则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况.2.收敛矩阵序列的性质:设,分别收敛于,则(1)(2)(3)，若存在(4)3收敛矩阵:设为方阵,且当时,则称为收敛矩阵.[定理]方阵为收敛矩阵的充要条件是的所有特征值的模值均小于1.证明:对任何方阵,均存在可逆矩阵,使得其中为的Jordan标准形,9当就等价于,等价于,而这只有才可能也必能.[得证]二、矩阵级数1.定义:矩阵序列的无穷和叫做矩阵级数,而称为其部分和,若矩阵序列收敛,且有极限,则称该级数收敛,且有极限.记为
2、不收敛的级数必为发散的.若矩阵级数的所有元素均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛.2.绝对收敛矩阵的性质(1)9绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和.(2)绝对收敛,则也绝对收敛且等于(3),均绝对收敛,且和分别为则三、方阵的幂级数为方阵,称为的幂级数.称为的Neumann级数.1.Neumann级数收敛的充要条件[定理]Neumann级数收敛的充要条件是为收敛矩阵,且在收敛时其和为.证明:[必要性]级数收敛,其元素为显然也是收敛的.作为数项级数,其通项趋于零是级数收敛的必要条件.故，即也就是说为收敛矩阵.[充分性]:为收敛矩阵,则其特征值的模值均小于1.设的
3、特征值为,的特征值为.则由9可见故,的行列式不为零,存在.而右乘得当时,,故.所以即Neumann级数收敛于.2.收敛圆[定理]若矩阵的特征值全部落在幂级数的收敛圆内,则矩阵幂级数是绝对收敛的.反之,若存在落在的收敛圆外的特征值,则是发散的.证明略.[推论]若幂级数在整个复平面上收敛,则对任何的方阵,均收敛.四、矩阵函数如:,,以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”)我们知道,9均为整个复平面上收敛的级数,故对任何的方阵均绝对收敛.三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。[性质]但是一般来说,,三者互不相等.例如,,则9可见,,,所以,,[定理]若,则证明:同理,有[推
4、论],，总存在逆阵。9五、矩阵函数的初步计算1.Hamilton-Cayley定理阶矩阵是其特征多项式的零点,即令则[证明]:设的特征值为,则又可写成由Schur引理知,存在酉矩阵,使得而9即2.零化多项式多项式,若,则称其为的零化多项式。由以上定理可知，方阵的特征多项式为的零化多项式。3.矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算例:已知四阶矩阵的特征值是、、0、0,求、、解:故9作业P1633,4,59
