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1、曲线积分与曲面积分曲线积分1计算曲线积分,其中是,.解曲线参数化.曲线是一条折线.要分段计算.以为参数.=2计算曲线积分,其中是曲面与的交线.解代入化简被积函数.曲面和的交线是一个圆.坐标原点到平面的距离等于,于是这个圆的半径等于,周长等于.又因为曲线是曲面和的交线,所以上所有点满足球面方程.代入,得==3计算曲线积分,其中是双纽线.解曲线参数化.奇偶对称性.选极角为参数.利用奇偶对称性.计算在第一象限的部分,则,代入公式,得==4计算曲线积分,其中是曲面与的交线.解轮换对称性.代入化简被积函数.因为
2、曲线关于平面及都对称,所以结论：设分段光滑曲线关于轴对称,将它从左到右定向记作.是它的位于右半平面的部分.又设函数在上连续,且满足,,则=,.5.计算曲线积分,其中是圆周的正向.解曲线参数化.将,代入,得6.计算曲线积分,其中是由曲线和围成的区域的边界的正向.解曲线参数化.奇偶对称性.不考虑方向,曲线关于轴对称,被积函数关于变量是偶函数,用奇偶对称性,有.被积函数关于变量是偶函数,曲线和在右半平面的部分分别记作和,则=+两段曲线具有不同的表达式,需分别计算.计算在上的积分时,以为参数;计算在5上的积分
3、时,以极角为参数.代入公式,得=+=格林公式1.计算曲线积分,其中是由曲线,,围成区域的正向边界.解用格林公式计算.根据格林公式,有=用二重积分的换元法.令,则区域变成平面上的矩形.雅可比行列式,代入公式,得==2.计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的弧.解添加一段弧成闭路,用格林公式计算.添加x轴上从点到点的直线段,记它们共同围成的区域为,用格林公式,得==3.计算曲线积分,其中的正向.解化简被积函数,用格林公式计算.因为被积函数在原点没有定义,不能直接用格林公式.将曲线方程代入被积函数的分母,得这
4、时可以使用格林公式了.记,则4.设函数有连续的偏导数,求证:,其中是圆周的正向.证用格林公式证明不等式.用格林公式,有=.因为区域关于直线对称,用轮换对称性,有=5.求极限,其中是圆周的正向.解用格林公式求极限.设围成的区域为,根据格林公式,有51.设函数有连续导数,则曲线积分与路径无关.证用曲线积分与路径无关的条件.计算可得,,满足曲线积分与路径无关的条件.2.求函数,使得曲线积分与路径无关.解用曲线积分与路径无关的条件.根据曲线积分与路径无关的条件,有,即.积分,得.3.计算曲线积分,其中是曲线上
5、从点到点的弧.解曲线积分与路径无关.选择比较简单的路径.计算可得,满足曲线积分与路径无关的条件.因此,选择容易计算的积分路径:先从点沿直线到点,再从点沿直线到点.=+=4.计算曲线积分,其中函数有连续导数,点.解用条件判定曲线积分与路径无关.选择比较简单的路径.计算可得,满足曲线积分与路径无关的条件.因此,选择容易计算的积分路径:沿曲线从点到点.5.计算曲线积分,其中是包含坐标原点在其内部的正向闭曲线.证用复连通区域的格林公式.选择比较简单的闭路.积分式在坐标原点无意义,取足够小,使得圆周在的内部.因
6、为被积函数满足微分方程,所以在与C之间的区域上的二重积分等于零.于是在用多连通区域的格林公式时,相当于换成另一条闭路,==6.验证是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.解用全微分的条件.计算可得,满足全微分的条件.选坐标原点为始点,则5验算:.曲面积分结论1.设光滑曲面关于平面对称,是在上半空间的部分.函数在曲面上连续,且满足=,则.2.设函数在光滑曲面上连续,的面积记作,则存在点,使得=.1.计算曲面积分,其中是锥面.解向坐标平面投影.向平面的投影区域为..用计算公式,得==2.计算曲面积分,其
7、中是.解奇偶对称性.曲面关于平面和平面对称,因此.3.计算曲面积分,其中是球面解轮换对称性.因为球面关于平面和都对称,所以==于是,==结论设光滑有向曲面关于平面对称,函数,,在上连续,且,,,则.4.计算曲面积分,其中是锥面的下侧.解向坐标平面投影.奇偶对称性.曲面关于平面对称,被积函数关于是偶函数,于是.51.计算曲面积分,其中是圆锥面,的下侧.解轮换对称性.曲面关于平面对称,用轮换对称性,得=于是=02.计算曲面积分,其中是柱面,,的右侧.解向坐标平面的投影是曲线弧.因为曲面在平面的投影是一条曲
8、线,所以.曲面关于平面对称,函数关于x的是偶函数,所以;函数关于的是奇函数,所以.记是在第一卦限的部分,是在平面上的投影,是在平面上的投影,用计算公式,得==+=5
