高数(工)2测试题(数项级数)解答

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1、*********2011—2012学年第二学期《高等数学（工）2》测试卷（数项级数）解答一．单项选择题（每小题2分，共10分）1．设是无穷级数的部分和，则收敛的充要条件是（B）．A．部分和数列有界B．极限存在C．D．数列单调递减，且分析：级数收敛指的是其部分和数列有极限，故选B．2．若级数收敛，则（B）．A．必收敛B．未必收敛C．　D．必发散分析：级数收敛，则级数收敛，反之不然，例如，故选B；3．在下列级数中，发散的是（C）．A．B．C．D．分析：因为，由级数收敛的必要条件，得到发散，其余3个级数都收敛，故选C．

2、4．在下列级数中，条件收敛的是（A）．A．B．-6-C．D．分析：，发散，而由莱布尼茨判别法知道收敛，所以是条件收敛，故选A．5．设，则下列级数中肯定收敛的是（　　）；A．　　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　　D．分析：因为，，所以级数收敛，且是绝对收敛，故选D．取，发散，故A错误，而发散，故C错误．取，发散，故B错误．二.填空题（每小题3分，共15分）6．级数，部分和，其和．分析：因为是公比的等比级数，部分和，收敛于和．7．级数，当时，级数绝对收敛；当-6-时，级数条件收敛；当时，级数发散．分析：级数，当时

3、收敛，时发散．而，所以时，为绝对收敛，时，发散，而，由莱布尼茨判别法得到为条件收敛．8．若级数收敛，则的取值为．分析：因为是收敛的交错级数，而，当时发散，所以收敛，必须．9．已知级数，，则级数．分析：因为，，所以．10．级数的敛散性为．分析：，由级数的结论得到级数发散．三．计算题（每小题7分，共63分）11．求级数的和．-6-解：　，，所以这级数收敛，且．12．判别级数的敛散性．解：，而发散，所以发散．13．判别级数的敛散性．解：因为，而是公比为的等比级数，收敛，所以原级数收敛；14．判别级数的敛散性．解：，而收敛

4、，收敛．15．判别级数的收敛性．解：因为当时，，所以当时，，由于-6-由级数收敛推知也收敛．16．判别级数的敛散性．解：因为，而级数收敛，所以原级数收敛．17．判别级数的敛散性．解：，收敛．18．判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．解：令，则,且，而级数发散，所以级数发散，但，且，所以级数收敛，因此原级数条件收敛．19．判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．-6-解：，绝对收敛．四、综合题（12分）20．设，（1）求的值；（2）试证明：对任意的常数，级数收敛．解：（1）证：（2），

5、，由，而收敛，得到收敛．-6-