高数12-1常数项级数.ppt

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1、无穷级数无穷级数常数项级数函数项--幂级数傅里叶级数（略）第十二章1，23，4，5引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动目录上页下页返回结束第一节常数项级数的概念和性质级数定义：给定一个数列将各项依次相加,即称为(常数项)无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作机动目录上页下页返回结束则称无穷级数发散.当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然部分和数列的极限一、常数项级数的概念例1.讨论等比级

2、数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动目录上页下页返回结束2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.机动目录上页下页返回结束若若例2证明级数是发散的.证故级数发散.机动目录上页下页返回结束解：所以级数收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束例3.讨论级数的收敛性.练习.判别级数的敛散性:解:所以级数发散;技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束二、收敛级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则

3、各项乘以常数c所得级数也收敛,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.其和为cS.机动目录上页下页返回结束注:若级数发散,则各项乘以非零常数c所得级数也发散。数=散数=收数=(收)散即：机动目录上页下页返回结束性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为收敛收敛收敛收敛发散发散发散发散不一定说明：（两收敛级数可逐项相加或相减）性质3.在级数中加上、去掉或改变有限项,不会改变级数的敛散性.性质4.收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和.推论:若加括号后的级数发散,则原级数必发散.注意:发散级数加括号后所成的级数不一定发散。例如，发散.带括号的收敛级数去括号后不一定收敛。同义语：

4、带括号的发散级数去括号后必发散收敛.项=(收)散性质4逆否命题收敛级数加括号仍收敛，发散级数去括号仍发散发散级数加括号可能变收敛，收敛级数去括号可能变发散补例求级数的和.解根据等比级数的结论,知而由前例,知所以机动目录上页下页返回结束性质5级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:逆否命题：若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.机动目录上页下页返回结束常数项级数的基本概念、性质、判定级数收敛的方法小结：加上、去掉或改变有限项加上、去掉括号发散收敛发散发散补例2

5、.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动目录上页下页返回结束