高数(工)2测试卷(幂级数向量代数)解答

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1、上海应用技术学院2013—2014学年第二学期《高等数学（工）2》测试卷（幂级数、向量代数）答案一．单项选择题（每小题2分，共10分）1．若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数的收敛半径（　B　）．A．B．C．D．无法确定分析：幂级数，在处收敛，则对于的一切都收敛，而在处发散，则对于的一切都发散，即收敛半径，故选B．2．幂级数在内的和函数是（　D　）．A．B．C．D．分析：根据函数的幂级数展开公式，用来替代，得到，故选D．3．向量与三坐标轴正向的夹角分别为，则（　D　）．A．B．C．D．分析：由方向余弦结论：，-8-得．故选D．4．设、、为三个任意非零向量，下列结论中正确的是（　

2、C　）．A．B．C．D．分析：在选项A中是数的绝对值，而，显然仅当（即//）时，．选项B，D显然是错误的．根据向量积的定义知C正确．故选C．5．已知向量，，，若向量既垂直于又垂直于向量，则（　B　）是与平行的单位向量．A．B．C．D．分析：，，是既垂直于又垂直于向量的向量，在此可取，显然是与平行的单位向量．故选B．二.填空题（每小题3分，共15分）6．幂级数的收敛区间是．分析：因为，所以收敛半径，原级数收敛区间为．-8-7．函数的麦克劳林展开式为．分析：因为，由函数的幂级数的展开公式，得．8．点关于面的对称点为，点关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为．9．已知，，且与的夹角为

3、，则．分析：，．10．设，，则当时，∥；当时，．分析：两个非零向量∥，由，得．两个非零向量，由，得．三．计算题（每小题7分，共63分）11．求幂级数的收敛半径和收敛域．解：，，-8-当时，级数成为，这级数收敛；当时，级数成为，这级数也收敛．因而原级数的收敛域为．12．求幂级数的收敛半径和收敛域．解：令，原幂级数，，由，得当时，级数成为，这级数发散；当时，级数成为，原级数收敛．因而原级数的收敛域为．13．求幂级数的收敛半径和收敛域．解：因为，故当，即时，级数收敛；当，即时，级数发散．所以原级数的收敛半径．当时，级数成为，这级数收敛；当时，级数成为，这级数也收敛．因而原级数的收敛域

4、为．14．求幂级数的和函数，并求数项级数的和．-8-解：因为，所以收敛半径为．当时，级数成为，收敛；当时，级数成为，发散．因此，原级数的收敛域．设幂级数的和函数为，即，，逐项求导得，　，，而，因此得，．又因为处幂级数收敛，在处右连续，，．在幂级数中，令，即可得．15．将函数展开成的幂级数．解：　　　　，．16．将函数展开成的幂级数．解：-8-由，得收敛域为．17．已知，，试求（1）；（2），；(3)与的夹角；（4）垂直于和的单位向量；（5）向量在上的投影；（6）以、为邻边的平行四边形的面积．解：（1）；（2），；（3），；（4）垂直于和的向量可取为，将其单位化可得到所求向量，故

5、所求向量是；（5）；（6）、为邻边的平行四边形的面积．18．设，，求．解：由，所以，展开得到由，得，-8-故．19．已知点和，试在轴上求一点，使的面积最小．解：设的坐标为，则，，因此，当，即的坐标为时，最小，其最小面积是．四．综合题（12分）20．求幂级数的和函数．解：的收敛区间为．设幂级数的和函数为，即，，且满足．先求一阶齐次线性微分方程的通解-8-常数变易法，设是一阶非齐次线性微分方程的解，代入由，因此，．-8-