高数11-2数项级数及审敛法

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1、无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第十一章常数项级数的概念和性质第一节第十一章给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作一、常数项级数的概念当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;

2、因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;(2)所以级数(2)收敛,其和为1.二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质2表明收敛级数可逐项

3、相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但例如，发散.性质5、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.例3.判断

4、下列级数的敛散性:例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:因这说明原级数收敛,其和为这说明原级数收敛,其和为3.二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十一章一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.则称为正项级数.定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k>0),

5、证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,2)若p级数收敛因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0

6、发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例5.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则数,且时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn近内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法

7、判别积分判别法部分和极限二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.定理7.绝对收敛

8、的级数一定收敛.例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.(2)令因此收敛,绝对收敛.必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法绝对收敛发散比较审敛法3.任意项级数审敛法收敛绝对收敛发散思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数第十一章一、函数项级数的概念设