高数同济六版课件D122数项级数及审敛法

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1、二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十二章*四、绝对收敛级数的性质7/15/2021高数同济六版一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”7/15/2021高数同济六版都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨7/

2、15/2021高数同济六版(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数7/15/2021高数同济六版例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,7/15/2021高数同济六版因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若7/15/2021高数同济六版调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切7/15/2021高数同济六版证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.7/15/2021高

3、数同济六版定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0

4、性.～例3.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～7/15/2021高数同济六版定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知7/15/2021高数同济六版因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而7/15/2021高数同济六版例5.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;7/15/2021高数同济六版对任意给定的正数*定理5.根值审敛法(

5、Cauchy判别法)设为正项则证明提示:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.级数,且7/15/2021高数同济六版时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.7/15/2021高数同济六版例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn近7/15/2021高数同济六版二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足7/15/2021高数同济六版证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于

6、S,且故7/15/2021高数同济六版收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛7/15/2021高数同济六版三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.则称原级7/15/2021高数同济六版定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令7/15/2021高数同济六版例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.7/15/2021高数同济六版(2

7、)令因此收敛,绝对收敛.小结7/15/2021高数同济六版其和分别为*四、绝对收敛级数的性质*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.(P263定理9)(证明见P263～P266)*定理9.(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为(P265定理10)说明:绝对收敛级数有类似有限项和的性质,但条件收敛级数不具有这两条性质.绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.7/15/2021高数同济六版内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发