常数项级数审敛法(III)

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1、常数项级数审敛法在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题2.正项级数收敛的充要条件:部分和数列为单调增加数列.定理3.比较审敛法证明即部分和

2、数列有界不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.解由图可知重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法证明4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;证明由比较审敛法的推论,得证.p261解故原级数收敛.的敛散性.～例4.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法

3、的极限形式知例5.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～证明收敛发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.直接从级数本身的构成——即通项来判定其敛散性两点注意:解比值审敛法失效,改用比较审敛法例7解由于不存在，检比法失效而对由检比法得收敛故由比较审敛法知收敛例8解由检比法得级数收敛级数发散检比法失效，但即后项大于前项故级数发散证明取则由知由收敛及比较审敛法得收敛收敛由知故不趋于0发散不能判定如都有但收敛发散级数收敛.二、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.证明满足收敛的两个条件,定理证毕.解原级数收敛.证明un单调减的方法？？？三、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负

4、项任意出现的级数称为任意项级数.证明上定理的作用：任意项级数正项级数解故由定理知原级数绝对收敛.将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理定理设有级数则绝对收敛发散可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散如例9.证明下列级数绝对收敛:证:(1)令因此收敛,绝对收敛.注意一般而言，由发散，并不能推出发散如发散但收敛如果发散是由检比法和检根法而审定则必定发散这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于0由四、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;思考题思考题

5、解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.练习题练习题答案