常数数级数的审敛法

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1、正项级数及其审敛法交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛第二节常数项级数的审敛法11.定义正项级数2.充要条件单调增加数列这时,部分和数列只可能有两种情形:一、正项级数及其审敛法正项级数的部分和数列2定理1(基本定理)说明一般的级数，部分和数列存在极限，才可以保证级数的收敛性.对于正项级数，只要部分和数列有界，就可以保证级数收敛正项级数收敛部分和所成的数列有界.上述充要条件，仅仅对正项级数成立！发散的级数，部分和数列没有极限发散的正项级数，部分和数列一定趋于无穷大3例判定的敛散性.解由定理1知,故级数的部分和可与另一个已知

2、敛散性的正项级数比较来确定.该正项级数收敛.启示:判定一个正项级数的敛散性,由于正项级数收敛部分和所成的数列有界.43.比较审敛法证定理2即部分和数列有界.则收敛收敛发散发散收敛5不是有界数列发散发散发散证6比较审敛法的不便:须有参考级数.推论(发散)收敛收敛(发散)均为正项级数，则因为级数的每一项乘以非零的数，或者去掉有限项不会影响到级数的敛散性，则有：7解(1)(2)调和级数发散用比较审敛法发散.例讨论的收敛性.8收敛.常用！9(1)几何级数使用正项级数的比较判定法时,常用的比较级数：一些级数的敛散性,作为比较的标准

3、.需要知道(2)p-级数(3)调和级数发散10例讨论下列正项级数的敛散性.解(1)而等比级数收敛.原级数收敛.由比较审敛法,11解因为是发散的p-级数.原级数发散.由比较审敛法124.比较审敛法的极限形式定理313证由比较审敛法的推论,得证.(2)和(3)的证明作为课下练习14问题如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。15解发散例判定下列级数的敛散性表明两级数敛散性相同，16定理65.极限审敛法证(1)在上述结论(2)(3)

4、中令(2)在上述结论(1)中令极限审敛法实质是以p－级数为比较级数的比较审敛法。在使用比较审敛法时，只要记住比较审敛法比较的通项趋于零的速度。如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。17解例判定敛散性原级数收敛18解例判定敛散性原级数收敛19证明请参阅教材。定理46.比值审敛法(达朗贝尔判定法)收敛发散方法失效202.若用比值判别法判定级数发散注3.一旦出现ρ=1要用其它方法判定.级数的通项un不趋于零.或不存在时,1.适用于

5、的连乘形式.如4.比值判别法的优点：不用找参考级数。21解例判定下列级数的敛散性22比值审敛法失效,解改用比较极限审敛法两级数有相同的敛散性23例证明级数并估计以级数的部分和sn近似代替和s解以级数的部分和sn近似代替和s是收敛的,所产生的误差.所产生的误差为:2425定理57.根值审敛法(柯西判别法)收敛发散方法失效26注2.时，此判别法失效只能改用其它方法.级数收敛.1.适用于通项以n为指数幂的级数。27判定的敛散性.解根据根值审敛法，级数收敛.因为例28正、负项相间的级数称为定义交错级数.定理6(莱布尼茨定理)二、

6、交错级数及其审敛法29证由条件(1):分析30满足收敛的两个条件,证毕.也是一个交错级数.由条件(2):31例判别级数的收敛性.解此级数为交错级数，而且所以原级数收敛，且其和若用其前n项来近似s，误差为注意和的不同.32解原级数收敛.此级数为例判别级数的收敛性.交错级数.33任意项级数定义定义可正,可负,可0.绝对收敛.条件收敛.三、绝对收敛与条件收敛明显，对任意项级数必为正项级数比如绝对收敛.条件收敛.34证绝对收敛与收敛因为级数正定理8收敛.显然,比较审敛法有以下重要关系35注1证明过程中引进了如下级数由于这个级数就

7、是原级数中的全体正项形成的级数，定理的证明过程表明是收敛的同样可以引进以下级数请分析此级数和原级数的关系！36由于原级数中的全体负项的绝对值形成的级数！同样由于是绝对收敛的，且所以也是收敛的正项级数用绝对收敛级数的全部正项或者全部的负项的相反数形成的新级数一定是收敛的（正项）级数.问题：如果用条件收敛的级数构造如上的级数呢？37问题：如果用条件收敛的级数构造如上的级数呢？条件收敛，即敛散性如何？用条件收敛级数的全部正项或者全部的负项的相反数形成的新级数一定是发散的（正项）级数.38注2定理8的逆命题不成立.一般或者说但是

8、，若由比值或者根值审敛法断定则可以保证39证明：比值或者根值审敛法断定若由比值或者根值审敛法断定则是因为明显，如果必有所以，必有40注3因为绝对收敛必收敛，所以很多任意项级数的收敛性问题，就转化为正项级数的收敛性问题.即：对某一个任意项级数，如果对通项取绝对值得到的新级数收敛（正项级数），则原级数必收敛，而且是绝对收